Final 07/03/2014 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$, $f\in C^{1}$ tal que:

1. $f(1,2)\,<\,0$
2. Existe una sucesión $\{Pk\}_{k\in \mathbb {N} }$ tal que $lim\,f(Pk)=+\infty$ cuando $n\rightarrow +\infty$.

Probar que:

1. Existe $p\in \mathbb {R} ^{2}$ tal que $f(p)=0$.
2. Si existen dos puntos $p\neq q\in \mathbb {R} ^{2}$ tales que $f(p)=f(q)=0$, entonces existe un punto $p_{0}\in \mathbb {R} ^{2}$ tal que $\nabla f(p_{0})$ es perpendicular al vector que une $q$ con $p$.

Ejercicio 2

Sea Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle f:\[0,+\infty )\rightarrow \mathbb{R}} una función continua, que cumple las siguentes propiedades:

1. $f(x)\geq 0$ para todo Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle x\in \[0,+\infty )}
2. Existe un Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle a \> 0 } tal que $f(x)\geq a$ $\forall x\in \left[{\dfrac {1}{2}}\,,\,1\right]$.
3. $f(x)=f(x+n)\forall n\in \mathbb {N}$.

Demostrar que cumple estas otras propiedades:

1. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \int_0^1 f(x) \, dx \,\>\, 0}
2. $\forall n\in \mathbb {N} ,\,\int _{0}^{1}f(x)\,dx=\int _{n}^{n+1}f(x)\,dx$
3. $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx\,=+\infty$

Ejercicio 3

Demostrar que si $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ es diferenciable en $P$, entonces, dado $v\in \mathbb {R} ^{2}$ de norma 1, existe la derivada direccional ${\frac {\delta f}{\delta v}}$ y vale $\nabla f(P)\cdot v$.

Ejercicio 4

Demostrar Multiplicadores de Lagrange para $\mathbb {R} ^{2}$ o $\mathbb {R} ^{3}$ (a elección).