Final 10/12/2015 (Probabilidad y Estadística)

Tomó Mariela Sued. No se podía tener el resumen de fórmulas.

Aproximadamente 3 horas.

Ejercicio 1

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (U_i)_{i>=1}^n iid, U_i \~ U[0,\theta]}

Encontrar el límite en probabilidad de

${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{[0,{\frac {1}{5}}]}(U_{i})$

Ejercicio 2

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (N_t)_{i>=1} \~ PP(\lambda = 3.2) } . Calcular

1. $P(N_{3}-N_{1}=0)$
2. $P(N_{2}=7\land N_{5}=11)$

Justificar.

Ejercicio 3

v.a. $X$ con aculada

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{si }}x<1\\{\frac {1}{4}}&{\text{si }}1\leq x<2\\{\frac {3}{4}}&{\text{si }}2\leq x<3\\1&{\text{si }}3\leq x\\\end{cases}}$

Graficar $F_{X}$, determinar si $X$ es una v.a. discreta o continua y calcular $E(X)$ y $V(X)$

Ejercicio 4

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_n \~ B(n,\frac{\lambda}{n}), \lambda > 0 } .

Calcular $\lim _{n\to +\infty }P(X_{n}=k)$

Ejercicio 5

$(X_{i})_{i>=1}^{n}$ independientes. Completar (sin justificar).

1. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_n \~ B(n_i,p) } entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots }
2. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_n \~ P(\lambda_i) } entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots }
3. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_n \~ \Gamma(\alpha_i,\lambda) } entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots }
4. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_n \~ N(\mu_i,\sigma^2) } entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots }
5. Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_n \~ N(0,1) } entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^{n} X_i \~ \ldots }

Ejercicio 6

Sea $X$ una va. $E(X)=\mu =2\land V(X)=\sigma ^{2}=0.04$.

Calcular aproximadamente $P(\sum _{i=1}^{60}X_{i}>122)$.

Ejercicio 7

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ N(\mu,1) }

Utilizando la formula del IC de nivel $1-\alpha$ con una muestra de tamaño $9$ se reportó el itervalo $(2.53,3.35)$.

Determinar ${\bar {x_{n}}}$ y $\alpha$.

Ejercicio 8

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ N(\mu,1) }

$H_{0}:\mu =5\;H_{1}:\mu >5$

Con una muestra de tamaño $12$ se obtuvo un p-valor de $0.048$. Decidir qué valores de $\alpha$ permiten rechazar $H_{0}$ con los datos obtenidos.

1. $\alpha =0.1$
2. $\alpha =0.05$
3. $\alpha =0.01$
4. $\alpha =0.005$

Ejercicio 9

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ U[0,\theta]} .

Probar que $T=max\{X_{1\ldots n}\}$ es el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$ y demuestre que es consistente.

Ejercicio 10

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle (X_i)_{i>=1}^n iid, X_i \~ N(\mu,\sigma^2 = 4) }

$H_{0}:\mu =\mu _{0}\;H_{1}:\mu >\mu _{0}$

Se realizó una muestra de tamaño $16$ y se obtuvo ${\bar {x_{n}}}=2.92$ y un p-valor de $0.072$. Determinar $\mu _{0}$.