Final 04/03/2016 (Álgebra I)

El profesor fue Javier Etcheverry, el final fue de 9:00 a 13:00

Ejercicio 1

El número 9376 cumple la propiedad de que 9376^2=87909376 ¿Cuántos números de cuatro cifras o menos cumplen la propiedad de que $X^{2}\equiv X(10000)$? ¿Cuántos números cumplen la propiedad de que $X^{2}\equiv X(10^{n})$?

Ejercicio 2

Probar la identidad de Lagrange: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \biggl( \sum_{k=1}^n a_k^2\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n b_k^2\biggr) - \biggl(\sum_{k=1}^n a_k b_k\biggr)^2 & = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_i b_j - a_j b_i)^2}

Ejercicio 3

(a) Sea f polinomio de grado 5 en Q[x], con raices $1-sqrt(3)$ y $2+sqrt(3)$, probar que f tiene una raiz racional (b) Hallar un polinomio g de grado 5 incluido en Q[x] tal que tenga $1-sqrt(3)$ como raiz y no tenga raices racionales.

Ejercicio 4

Sea en $\mathbb {N} x\mathbb {N}$ la relación $aRb\leftrightarrow \exists n\in \mathbb {N} _{0}talqueb=3^{n}a$ Decidir si es reflexiva, transitiva, simétrica o antisimétrica.