Práctica 5 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 1

¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?

Ejercicio 2

Sean a, b <- R^n fijos. ¿Qué número real t hace que $\lVert a-t*b\rVert _{2}$ sea mínimo
Minimizar $\lVert a-t*b\rVert$ es lo mismo que minimizar $\lVert a-t*b\rVert ^{2}$ pues la raiz es monotona y creciente. Llamemos a esta funcion $f(t)$ y minimicemosla:
f(t) = ||a − t * b|| ^ 2 = Sum [i = 0; i < n] (a[i] − t * b[i]) ^ 2
Para minimizarla, derivemosla, y hallemos el minimo en f'(t) = 0 y f(t) > 0.
f'(t) = Sum [i = 0; i < n] 2 * (a[i] − t * b[i]) * b[i]
f(t) = Sum [i = 0; i < n] 2 * b[i] ^ 2

f'(t) = 0 ==> Sum [i = 0; i < n] 2 * (a[i] − t * b[i]) * b[i] = 0 <==>

Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i] − t * b[i] * b[i]) = 0 <==>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) − t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 = 0 <==>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) = t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 <==>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) = t * Sum [i = 0; i < n] b[i]^2 <==>
Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) / Sum [i = 0; i < n] b[i] ^ 2 = t

Notese que necesitamos que $\lVert b\rVert >0$ para poder pasar dividiendo la sumatoria, y para que $f(t)>0$. Entonces para cualquier $\lVert b\rVert >0$ t = Sum [i = 0; i < n] (a[i] * b[i]) / Sum [i = 0; i < n] b[i] ^ 2 es el que minimiza la funcion, y para $\lVert b\rVert =0$ cualquier t da lo mismo.

Ejercicio 4

Sea A � IRn×m. Se define el espacio columna de A como el subespacio de IRn generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de IRm generado por las filas de A.

(a)

Probar que el espacio columna de A es Im(A).

(d)

Probar que el espacio fila de A es Nu(A)^bottom.

(c)

Probar que Im(A)^bottom = Nu(A^t).