Final 26/07/2016 (Álgebra I)

(4 horas)

Ejercicio 1

Sea la sucesión en $\mathbb {N} ,a_{0}=7,a_{1}=9,a_{n}=5\cdot a_{n-1}-2\cdot a_{n-2}$, demostrar que $a_{n}$ y $a_{n+1}$ son coprimos.

Ejercicio 2

Sea la relación

$aRb\leftrightarrow 13$ no divide a $a^{24}+b^{60}-1$

Demostrar que es de equivalencia. ¿Cuántas clases de equivalencia hay?

Ejercicio 3

Hay 5 parejas con una mujer y un hombre cada una. ¿Cuántas filas distintas donde estén las 10 personas se pueden armar si en cada pareja la mujer tiene que estar delante del hombre (no necesariamente juntos) y María tiene que estar delante de Juana (no necesariamente juntos)?

Ejercicio 4

Sea $n\in \mathbb {Z}$, $w$ una raíz 14-ava primitiva de 1 y $z$ una raíz 11-ava primitiva de 1. Hallar todos los $n$ que cumplen

$(wz)^{22n}=w^{2},(wz)^{42n}=z^{5}$

Ejercicio 5

Factorizar $x^{5}-5x^{4}+4x^{3}+2x^{2}+4x+24$ en $\mathbb {Q} [X]$, $\mathbb {R} [X]$ y $\mathbb {C} [X]$ sabiendo que tiene una raíz en común con $x^{4}-2x^{3}-3x^{2}-2x-4$.