Final 24/02/2017 (Álgebra I)

(3,5 horas)

Ejercicio 1

Sea A un conjunto con 2017 elementos. Determinar la cantidad de

a)relaciones reflexivas que pueden definirse en A.

b)relaciones simétricas que pueden definirse en A.

c)relaciones antisimétricas que puden definirse en A.

Ejercicio 2

Sea $a_{n}$ la sucesion de números naturales definida por:

$a_{1}=2$

$a_{2}=8$

$a_{n+2}=4{\sqrt {2a_{n+1}}}+a_{n}$

hallar la fórmula general y probarla.

Ejercicio 3

Determinar todos los $n\in \mathbb {N}$ tales que $(4n^{2}-1:22)=11$ y $n^{n}\equiv 9(mod11)$.

Ejercicio 4

Hallar todos los $P\in \mathbb {R} [x]$ tales que

$(x-16)P(2x)=16(x-1)P(x)$

Ejercicio 5

Hallar todos los valores de $a\in \mathbb {R}$ tales que alguna raíz sexta primitiva de la unidad sea raíz de $x^{5}+x^{4}-3x^{3}+ax-4$. Para cada valor hallado, factorizar el polinomio en $\mathbb {R} [x]$ y $\mathbb {C} [x]$.