Práctica 1 (Métodos Numéricos)

Nota: Rn está formado por vectores columna. Cuando se escriben por filas es por comodidad tipográfica.

Ejercicio 1

Dadas las matrices $A=(a_{ij})eR^{nxm}$ , $B=(b_{ij})eR^{mxn}$ , $D=(d_{ij})eR^{mxm}$ y los vectores columna $x=(x_{i}),z=(z_{i})eR^{n}$, $y=(y_{i}),w=(w_{i})eR^{m}$(donde la notación $a_{ij}$ representa el elemento que está en la fila i y en la columna j de la matriz A y la notación xi representa el elemento i-esimo del vector x), decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y en este último caso justificar por qué lo son.

a) $x^{t}Az=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}x_{i}a_{ij}z_{j}$ FALSA

$xz^{t}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}z_{i}$ FALSA (El resultado es una matriz $R^{nxn}$ )

c) (ADw)i = Pm j=1 Pm k=1 aijdjkwk d) (BtD􀀀1y)i = Pm j=1 Pm k=1 bjid􀀀1 jk yk

Ejercicio 7

Sean A,B e Rnxn. Dar condiciones necesarias y suficientes sobre A y B para que valga la igualdad (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2. Idem para que (A + B)(A - B) = A2 - B2

• (A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + 2AB + B^2 <=> AB+BA =2AB <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

• (A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2 <=> -AB+BA =0 <=> BA = AB <=> A=B o A o B son la matriz identidad.

Ejercicio 8

Sea A e Rnxn y m e N, probar la igualdad

(I - A)(I + A + ... + A^m) = (I + A + ... + A^m)(I - A) = I - A^m+1

• (I - A)(I + A + ... + A^m) = I^2 + IA + ... + IA^m - AI - A^2 - ... - A^m+1 = I + A + ... + A^m - A - A^2 - ... - A^m+1 = I - A^m+1

• (I + A + ... + A^m)(I - A) = I^2 - IA + AI - A^2 + A^2 I - A^3 + ... + A^m I - A^m+1 = (I - A) + (A - A^2) + (A^2 - A^3) + ... + (A^m - A^m+1) = I - A^m+1

Ejercicio 9

Determinar si los siguientes conjuntos de Rn son linealmente independientes. Cuando no lo sean, escribir uno de sus elementos como combinación lineal del resto.

a) C = {(1, 2, 1, 0), (2, 1, 3, 0), (3, 2, 4, 1)} C R4

b) C = {(3, 3, 3), (2, 1, 0), (7, 5, 3)} C R3

a) LI

b) LD (3,3,3) + 2 (2,1,0) = (7,5,3)

Ejercicio 12

Sea A e Rmxn. Demostrar que T(x) = Ax es una transformación lineal.

Una transformación (o mapeo) T es lineal si:

• (i) T(u + v) = T(u) + T(v) para toda u, v en el dominio de T

• (ii) T(cu) = cT(u) para toda u y todos los escalares c.

Teorema: Si A es una matriz de m × n, u y v son vectores en Rn, y c es un escalar, entonces

• a. A(u + v) = Au + Av

• b. A(cu) = c(Au)

• T(x) = Ax

• T(y) = Ay

• T(x) + T(y) = Ax + Ay = A(x + y) = T(x + y)

• cT(x) = cAx = Acx = T(cx)