Final 27/12/2002 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sea $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la sucesión de números reales definida por

$a_{n}={\frac {(2n+1)!}{n!}}$, para todo $n\in \mathbb {N}$

Ejercicio 2

Sea $T:\mathbb {Q} [X]\rightarrow \mathbb {Q} [X]$ la función definida por $T(f)=X^{2}f-(X+1)f'$

Probar que T es inyectiva pero no suryectiva.

Ejercicio 3

Sea a un entero impar. Probar que $(2^{n}+7a\;:\;2^{n+1}-5a)=1\;{\acute {o}}\;19$

Ejercicio 4

Sean $f,g\in \mathbb {R} [X]$ tales que 5 es taíz doble de $f\;+\;g$ y simple de $f\;-\;g$. Probar que 5 es raíz simple de $f$ y de $g$.

Ejercicio 5

Hallar todos los $n\in \mathbb {N}$ tales que

$(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})^{5n+1}=-1\;\;\;\;\;$y$\;\;\;\;\;(\cos {\frac {2\pi }{5}}+i\sin {\frac {2\pi }{5}})^{2n-1}=1$