Final 09/08/2017 (Probabilidad y Estadística)

3hs, lo tomó Pablo Amster. Había que resolver 5 de los 6 ejercicios y se aprobaba con un mínimo de 3 resueltos.

1) Sean $X\sim Bi(n,{\frac {n}{\lambda }})$, $Y\sim P(\lambda )$. Probar que para todo $k\in N_{0}$ vale $p_{X}(k)\rightarrow p_{Y}(k)$ para $n\rightarrow \infty$.

2) Sean $X,Y$ variables aleatorias con varianza positiva y finita. Probar que $|\rho (X,Y)|=1$ si y solo si $Y=aX+b$ con probabilidad 1 para ciertos $a,b$ tales que $a\neq 0$.

3) Construir un test de hipótesis para la media de una distribución normal con varianza desconocida. Enunciar el test, describir la zona de rechazo de la hipótesis nula y los tipos de error cometidos.

4) Sea $X$ una variable aleatoria discreta. Probar que la función de distribución acumulada $F_{X}$ es creciente y vale:

$\lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$

$\lim _{x\to \infty }F_{X}(x)=1$

5) Sea $X\sim U(0,a)$. Construir un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$ para el valor $a$.

6) Sean $U\sim U(0,1)$, $Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ y $X=F_{Y}^{-1}(U)$. Calcular $F_{X}$.