Final 28/04/2017 (Álgebra I)

Final tomado por Jorge Guccione

Ejercicio 1

Pruebe que para todo $n\geq 3,n\in \mathbb {N}$ se cumple que

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {n-i}{i+2}}\geq {\frac {n}{n+2}}$

Ejercicio 2

Cuente la cantidad de funciones biyectivas

$f:\{1,2,\ldots ,17\}\to \{1,2,\ldots ,17\}$

tales que si $a_{1}\equiv a_{2}(mod8)$, entonces $f(a_{1})\equiv f(a_{2})(mod8)$

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z}$ la funcion definida por

$f(a,b)=42a+30b$

Calcule $Im(f)$ y para cada elemento $c\in Im(f)$ describa $\{(a,b)\in \mathbb {Z} :f(a,b)=c\}$

Ejercicio 4

Sean $z\in \mathbb {C}$ una raiz de orden $16$ de la unidad y $w\in \mathbb {C}$ una raiz de orden $42$ de la unidad. Encontrar todos los $n\in \mathbb {N}$ que satisfacen simultaneamente

$z^{7n+9}=z^{4n-7}$ y $w^{3n}={\bar {w}}^{18}$

Ejercicio 5

Factorice en $\mathbb {Q} [X]$, $\mathbb {R} [X]$ y $\mathbb {C} [X]$ el polinomio

$x^{6}-6x^{5}+14x^{4}-8x^{3}-14x^{2}+10x+7$

Sabiendo que tiene $2$ raices cuya suma es $1$ y cuyo producto es $-1$, que ademas son multiples.