Final 25/10/2019 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sean $A,B,C,D$ conjuntos arbitrarios. Decidir si la siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

(a) Si $A\subseteq B$ y $A\subseteq C$ entonces $A\subseteq B\ \Delta \ C$

(b) Si $A\subseteq B$, $A\subseteq C$ y $A\subseteq D$ entonces $A\subseteq (B\Delta C)\ \Delta \ D$. Donde $\Delta$ denota la diferencia simétrica.

Ejercicio 2

Probar que si $n$ es un número natural mayor o igual que 8, entonces exiten enteros $x,y$ no negativos tales que $n=3x+5y$. ¿Son únicos?

Ejercicio 3

Sean $n,m,p$ números naturales tales que $(n:m)=(p:m)$ y $[n:m]=[p:m]$. Probar que $n=p$.

Ejercicio 4

Sea $w$ una raíz sexta primitiva de 1. Determinar todos los $n\in \mathbb {N}$ que verifican que $\prod _{j=o}^{n}w^{2j}=1$

Ejercicio 5

Sea $f=X^{2}+aX+b$ un polinomio con coeficientes enteros, es decir $a,b\in \mathbb {Z}$. Sean $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ las raíces de $f$. Probar que para todo $n\in \mathbb {N}$, se tiene que $\alpha ^{n}+\beta ^{n}\in \mathbb {Z}$