Final 21/12/2012 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Sea $F_{n}$ la sucesión de Fibonacci: $F_{0}=0$, $F_{1}=1$, $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}(n\geq 1)$

a) Sean $a,b\in \mathbb {Z}$ no ambos nulos. Probar que para $n\geq 0$ se tiene

$(F_{n}a+F_{n+1}b:F_{n+1}a+F_{n+2}b)=(a:b)$

Encontrar otra sucesión $G_{n}\in \mathbb {Z}$ tal que:

$(G_{n}a+G_{n+1}b:G_{n+1}a+G_{n+2}b)=(a:b)(n\geq 0)$

Ejercicio 2

a) Sea $f\in Q[x]$, $gr(f)=5$ tal que $1+{\sqrt {2}}$ y $3+{\sqrt {3}}$ son raíces de f. Probar que f tiene una raíz racional.

b) Encontrar un polinomio $g\in Q[x]$ de grado 5 con raíz $1+{\sqrt {2}}$ pero sin raíces racionales.

Ejercicio 3

Probar que si p y q son primos distintos y si a es coprimo con pq, entonces $a^{[p-1:q-1]}$ es congruente a 1 (mod pq)

Ejercicio 4

Dado $k\in \mathbb {N}$,$G_{k}=\{z\in \mathbb {C} /z^{k}=1\}$. Probar que si n y m son coprimos,

$f:G_{n}\times G_{m}\rightarrow G_{mn}$

$f(t,s)=ts$ es biyectiva.

Ejercicio 5

Encontrar todos los enteros $0\leq a\leq 2400$ que son divisibles por 8, tales que su desarrollo en base 7 tiene al menos 3 dígitos iguales.