Práctica 11: Problemas P y NP (Algoritmos III)

Ejercicio 11.01:

a) Se puede hacer en O(n log n) -> esta en P
b) Se puede hacer con DFS en O(n^2) -> esta en P
c) Se puede hacer con DFS en O(n^2) -> esta en P

Ejercicio 11.02:

Vale porque la composicion de reducciones polinomiales es una reduccion polinomial

Ejercicio 11.05:

a)
b)
c)

Ejercicio 11.07:

a)Verdadera
b)Verdadera
c)No se sabe
d)Falso
e)
f)
g)Falso

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Ejercicio 11.08:

ES cierto.

Justamente la relacion de reducibilidad dice: Si existe un algoritmo de transformacion polinomico del problema de decision A en el problema de decision B, el problema A es reducible polinomicamente al problema B. Lo denotamos:

A <=p B.

Ademas sabemos que un problema B es NP-completo si:

1. esta en NP, y
2. para cualquier otro problema A en NP, A <=p B.

Ya que existe una transformacion polinomica para reducir el algoritmo X a Y, de igual forma Y a X.

Con lo cual , llamemos A=X, B=Y, entonces se cumple que X <=p Y, luego
Sea A=Y,B=X, entonces se cumple que X <=p Y.

Fin

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Ejercicio 11.09:

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

Si el problema de decision B esta en P y A <=p B, entonces el problema de decision A esta en P.

Demostracion:
Sea p el polinomio que acota la complejidad en tiempo del algoritmo de transformacion, y q el polinomio que acota la complejidad del algoritmo polinomico para B.
Supongamos que tenemos una instancia para A de tamaño n.
Como el algoritmo de transformacion da como mucho p(n) pasos, el tamaño de la instancia del problema B es como mucho p(n).
El algoritmo para B realiza como mucho q(p(n)) pasos.
Por tanto, la cantidad total de trabajo para resolver A es como mucho p(n) + q(p(n)), que es un polinomio en n.

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Ejercicio 11.10:

a)
b)
c)

Ejercicio 11.11:

a)
b)
c)
d)
e)
f)

Ejercicio 11.13:

a)
b)
c)

Ejercicio 11.14:

a)
b)
c)

Ejercicio 11.17:

a)
b)

Ejercicio 11.21:

Solo serviria para ver que no me voy a matar buscando una solucion polinomial para el algoritmo(ya que es poco probable).
A lo sumo busco una buena heuristica para que me de una solucion aproximada.

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Ejercicio 11.22:

a) Entonces estaria probando que los algoritmos np son polinomiales.
Si pudieramos mostrar que un problema NP-completo cualquiera está en P, podríamos concluir que P = NP.

b)
(Consultar con los ayudantes)
Entonces estaria demostrando que ese problema no tiene solucion polinomica.

Aunque, si este fuera NP-Completo tambien demostraria que todos los NP-Completos no tienen solucion polinomica.

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Ejercicio 11.23:

a)
b)