Segundo Parcial 21/07/2006 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 1

a) $y_{i}=ax_{i}^{2}+bx_{i}$

Busco el min a,b de la funcion $\sum _{i=1}^{n}(ax_{i}^{2}+bx_{i}-y_{i})^{2}$

Derivo e igualo a 0 cada derivada

$\sum _{i=1}^{n}{ax_{i}^{4}}+\sum _{i=1}^{n}{bx_{i}^{3}}-\sum _{i=1}^{n}{y_{i}x_{i}^{2}}=0$

$\sum _{i=1}^{n}{ax_{i}^{3}}+\sum _{i=1}^{n}{bx_{i}^{2}}-\sum _{i=1}^{n}{y_{i}x_{i}^{1}}=0$

que en este caso quedaria

$98a+36b=184$

$36a+14b=70$

y haciendo solo sustitucion quedan

$a={\frac {14}{19}}$

$b={\frac {59}{19}}$

b) El error de la estimacion es ni mas ni menos que evaluar la expresion que minimizamos al principio utilizando los coeficientes que obtuvimos, es decir:

$\sum _{i=1}^{n}{({\frac {14}{19}}x_{i}^{2}+{\frac {59}{19}}x_{i}-y_{i})^{2}}$

Por lo que en este caso quedaria:

$2({\frac {-3}{19}})^{2}+({\frac {-1}{19}})^{2}={\frac {19}{361}}$

Ejercicio 2

a)

Utilizando el poli interpolador de Lagrange:

$P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{y_{k}L_{n,k}}=\sum _{k=0}^{n}{sen(k\pi )L_{n,k}}=\sum _{k=0}^{n}{0L_{n,k}}=0$

b)

Por definicion del poli interpolador de Lagrange

$f(x)=P(x)+E(x)$

y en este caso quedaria

$sen(x)=0+E(x)$

por lo tanto

$E(x)=sen(x)$

Ejercicio 3

a)

$\int _{1}^{b}{1/xdx}=ln(x)|_{1}^{b}=ln(b)+ln(1)=ln(b)$

b)

$f(x)=x^{-1},f^{IV}(x)=24x^{-5}$

$|E|=|-h^{4}(b-1)f^{IV}(\beta )/180|=|{\frac {(b-1)^{5}24\beta ^{-5}}{180*10^{4}}}|\leq |{\frac {4(b-1)^{5}}{3/10^{5}}}|={\frac {4(b-1)^{5}}{3/10^{5}}}$

${\frac {4(b-1)^{5}}{3/10^{5}}}<10^{-4}$

$b<(10^{-4}{\frac {3*10^{5}}{4}})^{1/5}+1<2.496$

por lo tanto

$1<b<2.496$

Ejercicio 4

Verifico las 3 condiciones del teorema para la convergencia (y unicidad):

• $g\in [0,1.2]$

g es suma producto de polinomios, asique es continua siempre

• $g:[0,1.2]\Rightarrow [0,1.2]$

$0\leq x\leq 1.2$

$0\leq x^{2}\leq 1.44$

$c\leq x^{2}+c\leq 1.44+c$

${\frac {c}{3}}\leq {\frac {x^{2}+c}{3}}\leq {\frac {1.44+c}{3}}$

Asique para que g caiga siempre en [0,1.2] tiene que pasar que:

• • ${\frac {c}{3}}\geq 0$ sii $c\geq 0$

• • ${\frac {1.44+c}{3}}\leq 1.2$ sii $c\leq 2.16$

• $|g'(x)|\leq k<1$

$|g'(x)|=|2x/3|\leq 2*1.2/3=0.8<1$

Por lo tanto, g CV si $0\leq c\leq 2.16$

Para ver el orden de CV analizo hasta que punto las derivadas se anulan

$g'(x)=2x/3=0$ sii $x=0$

Verifico si 0 es un pto fijo de g:

$g(0)=c/3=0$ sii $c=0$

Considero cuando c = 0 y busco la CV cubica:

$g''(x)=2/3\neq 0(\forall x)$

Por lo tanto g CV linealmente si $0<c\leq 2.16$ y CV cuadraticamente si c = 0

Ejercicio 5

a) Creeme que da! b) Nota: en vez de usar x, y, z uso $x_{1},x_{2},x_{3}$ porque tengo ganas =) $J(x)={\begin{bmatrix}x_{1}&3x_{2}&2x_{3}\\x_{2}x_{3}&x_{1}x_{3}&x_{1}x_{2}\\1&-x_{3}&-x_{2}\\\end{bmatrix}}$

Como ya se que F(1,1,1) = 0, verifico si hace a J inversible

$J(1,1,1)={\begin{bmatrix}1&3&2\\1&1&1\\1&-1&-1\\\end{bmatrix}}$

Su determinante es 2 (tachando la fila del medio sale facil) que es $\neq 0$, asique $\exists J^{-1}(1,1,1)$ con $p=(1,1,1)$

c) Por el algoritmo de Newton tengo que $G(x_{n})=x_{n}-J^{-1}(x_{n})F(x_{n})$. Pero calcular $G(p)$ es un bajon porque habria que invertir $J(p)$, asique mejor hacer asi:

$G(p)=p-J^{-1}(p)F(p)=p-J^{-1}(p)0=p$

Por lo tanto p es un punto fijo de G.