Práctica 3 (LyC Verano)

Ejercicio 1

Sea f: N -> N computable.

Item A

Demostrar que la función

g(x) = min {y : f(y) = x}  si existe y tal que f(y) = x
       se cuelga           si no

es parcialmente computable.

Solución

Damos un programa que computa g.

Z1 <- X1
[A] Z3 <- f(Z2)  //Dado que f es computable, supongo que tengo el progama homónimo que la calcula, 
                 //y además sé que no se cuelga.
IF Z3 = Z1 GOTO B
Z2 <- Z2 + 1
GOTO A
[B] Y <- Z2

La idea es sencillamente chequear si f(y) = x, empezando con y = 0 e incrementando de a uno. Si en algún momento esto ocurre, ese y es el que busca la minimización de la primer rama de g. Si no ocurre nunca, el programa sigue incrementando el valor chequeado infinitamente, o sea se cuelga.

Item B

Demostrar que si f es además biyectiva, f^-1 es computable.

Solución

Notar que el programa que dimos computa f^-1. Como f es biyectiva, es inyectiva. Esto asegura que el resultado de la expresión min{y:f(y) = x} devuelve no sólo el mínimo y, sino el único. Además, la sobreyectividad nos asegura la existencia de tal y, con lo cual el programa no puede colgarse.

Ejercicio 2

Sea f: N -> N una función computable y sobreyectiva. Probar que existe una función computable e inyectiva g: N -> N tal que g(f(x)) <= x para todo x perteneciente a N.

Solución

Es casi el mismo problema que en el ejercicio 1. Podríamos ver a g como una especie de generalización de f^-1. Si f es inyectiva y sobreyectiva (i.e. biyectiva) se puede definir una f^-1 tal que f^-1(x) = g(f(x)) = x, para todo x natural.

Si debilitamos la hipótesis sobre f, y sólo pedimos que sea sobreyectiva, pasa a haber más de un xi tal que g(f(xi)) = x. Pero siempre habrá un único x1 tal que g(f(x1)) = x y además x1 es más chico que todos los xi. Este x1 se encuentra con la minimización:

min{y : f(y) = x}

Por otra parte, esta minimización es computable, dado que está garantizado por la sobreyectividad de f la existencia de al menos un y que verifique f(y) = x. Nuevamente, esta función se computa con el programa del ejercicio 1, item A. Por último, g es inyectiva porque en la expresión f(y) = x, dos valores x1 y x2 distintos no pueden provenir del mismo y, dado que esto violaría la definición de función.

Ejercicio 3

Sea f: N -> N una función computable biyectiva. Probar que Halt(f(x), x) no es computable. Sugerencia: considerar la función:

h(x) = 1 si       fi(x, f^-1(x)) se cuelga
       se cuelga  en otro caso

El siguiente programa computa h, suponiendo que HALT(f(x),x) sea computable:

[A] IF HALT(f(f^-1(x)), f^-1(x)) GOTO A
Y <- 1

que es equivalente a:

[A] IF HALT(x, f^-1(x)) GOTO A
Y <- 1

Llamemos P a este programa, entonces existe e perteneciente a N tal que #(P) = e

Ahora bien, por la definición de HALT:

HALT(f(e), e) <=> P(f(e)) termina

Y por el código de P:

P(f(e)) termina <=> -(HALT(f(e), e)

Lo que nos lleva a un absurdo, que proviene de la única suposición que hicimos, que es que HALT(f(x), x) es computable.

Ejercicio 4

Sean f, g y h las funciones dadas por:

f(x) = fi(x,x) + 1   si fi(x,x) termina
       se cuelga     si no

g(x) = 1             si x pertenece al dominio de f
       se cuelga     si no

h(x) = 0             si fi(x,x) termina
       se cuelga     si no

Para resolver esto es suficiente con dar 3 programas que computen cada una de estas funciones.

Este programa computa f:

Y <- fi(x,x) + 1

Este programa computa g:

Z <- f(x)
Y <- 1

Y este computa h:

Y <- not(g(x))

Ejercicio 5

Probar que la siguiente función es primitiva recursiva:

f(x) = 1 si x = <<a,b>,c> y fi(b,a) termina en menos de c pasos
       0 en otro caso

Solución

f(x) es pr porque tanto los valores que devuelve como las funciones utilizadas en las guardas lo son. La decodificación de x en a, b y c es pr. y el predicado "fi(b,a) termina en menos de c pasos" es computado por el programa STP(b,a,c), que es pr.

Ejercicio 6

Decimos que una funcion parcialmente computable f es extensible si existe g computalbe tal que g(x) = f(x) para todo x en el dominio de f. Probar que existe una funcion f parcialmente computable que no es extensible.

¿$f(x)=\Phi _{x}(x)$?

Sea $g(x_{1},\dots ,x_{n},y)={\begin{cases}min_{t}STP(x_{1},\dots ,x_{n},y,t)\ si\ \Phi _{y}(x_{1},\dots ,x_{n})\downarrow \\\uparrow \ sino\end{cases}}$

Supongamos ahora $g$ es extensible y sea $f$ computable la función que la extiende. Pero entonces, podríamos reescribir la función $Halt$ con $f$

$Halt(x_{1},\dots ,x_{n},y)=STP(x_{1},\dots ,x_{n},y,f(x_{1},\dots ,x_{n},y))$ Lo cual es absurdo, ya que $Halt$ no es computable y con esta definición es claramente computable. (la idea es que como $g$ te devuelve en qué número de "iteración" $y$ termina, no importa qué te devuelva la extensión $f$ ya que podés chequear si es fruta o es uno de los valores de $g$, chequeando con $STP$ si efectivamente $x$ terminó en la cantidad de pasos que te dijo f)

Ejercicio 10

Probar que las siguientes funciones no son computables

Item A

f(x) = 1  si $\Phi _{x}(x)=2x$
       0  si no

Supongo f es computable, por ende es total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = 2x+1  si f(x)
         2x    si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Supongo $\Phi _{e}(e)=2e$ $\Rightarrow f(e)\Rightarrow g(e,e)=\Phi _{e}(e)=2e+1\neq 2e$

Supongo $\Phi _{e}(e)\neq 2e$ $\Rightarrow \alpha (f(e))\Rightarrow g(e,e)=\Phi _{e}(e)=2e$

Absurdo que proviene de suponer que f es computable

Todos los items siguientes se resuelven con el mismo mecanismo

Item B

f(x) = 1  si $dom(\Phi _{x})=\emptyset$
       0  si no

Supongo f es computable

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = 1  si f(x)
         $\uparrow$  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}=g(e)$

Evaluando g en e se llega al absurdo

Item C

f(x,y) = 1  si $\Phi _{x}=\Phi _{y}$
         0  si no

Supongo f es computable, por ende tambien total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = $\Phi _{y}+1$  si f(x,y)
         $\Phi _{y}$  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Sea a tal que $\Phi _{a}\downarrow$

Por teorema del parametro, $\exists s/\Phi _{s}=g(e,a)=\Phi _{e}(a)$

Evaluando g en (s,a) se llega al absurdo

Item D

f(x) = 1  si $Im(\Phi _{x})$ es infinita
       0  si no

Supongo f es computable, por ende tambien es total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = 0  si f(x)
         y  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Supongo $Im(\Phi _{e})infinita$, $\Rightarrow f(e)\Rightarrow (\forall y)g(e,y)=\Phi _{e}(y)=0\Rightarrow Im(\Phi _{e})={0}$

Supongo $Im(\Phi _{e})noinfinita$, $\Rightarrow \alpha (f(e))\Rightarrow (\forall y)g(e,y)=\Phi _{e}(y)=y\Rightarrow Im(\Phi _{e})=Naturales$

Item E

f(x) = 1  si $1\in dom(\Phi _{x})$
       0  si no

La condicion equivale a decir que $\Phi _{x}(1)\downarrow$

Supongo f es computable, por ende tambien es total

Sea g(x,y) tal que

g(x,y) = $\uparrow$  si f(x)
         0  si no

Por teorema de la recursion, $\exists e/\Phi _{e}(y)=g(e,y)$

Evaluando g en (e,y) para todo y, se llega al absurdo

Ejercicio 11

Analizar la validez de las siguientes afirmaciones

Item A

Si B es r.e., entonces B es computable o su complemento es computable.

Solucion

Falso.

$B=\{x:\Phi _{x}(x)\downarrow \}$
B es r.e., pero no es computable, ni tampoco su complemento. Si lo fueran, entonces el Halting problem seria computable.

Item B

Si $B_{1},...,B_{k}$ son r.e., entonces la union tambien lo es.

Solucion

Verdadero.

Basta construir un programa que vaya evaluando en paralelo todas las posibilidades, hasta que alguno termine.

Item C

Idem anterior, pero si la cantidad de conjuntos es infinita.

Solucion

Verdadero.

Se deberia poder construir un programa utilizando la tecnica de Dove Tailing que vimos en la teorica.
Es decir, para determinar si x pertenece, evaluo STP(b1, x, 1).
Si es falso, pruebo con STP(b1, x, 2) y STP(b2, x, 2).
Si dan falso, pruebo con STP(b1, x, 3), STP(b2, x, 3) y STP(b3, x, 3).
Asi sucesivamente hasta hallar un valor que verifique, o colgarse si no pertenece al conjunto.

En forma recursiva, la funcion seria: $U(x)=(\exists t)(\exists y)STP(B_{y},x,t)$
Como la minimizacion es no acotada (ni tampoco propia), el programa es parcialmente computable y caracteriza un conjunto r.e.

Ejercicio 12

Sea B un conjunto infinito

Item A

Probar que B es r.e. sii existe una funcion f inyectiva computable tal que la imagen de f sea B.

Solucion

$\Rightarrow$)

Como B es r.e., existe una funcion g primitiva recursiva (por lo tanto, computable) tal que su imagen sea B. Defino f en funcion de g:

$f(0)=g(0)$
$f(n+1)=g(min_{t}((\forall i\leq n)g(t)\neq f(i))$

Intuitivamente, f va seleccionando todos los valores de g tal que no se hayan repetido anteriormente. Como B es infinito, siempre existira algun nuevo valor t que no sea repetido. Por lo tanto, la minimizacion es propia y f resulta computable e inyectiva, pues no repite valores; y su imagen es igual a B.

$\Leftarrow$)

Existe una funcion f inyectiva computable tal que su imagen es igual a B, por lo tanto, B es r.e.
Se puede usar la funcion del 1.a para probarlo.

Item B

Probar que B es computable sii existe una funcion f de una variable computable y creciente tal que Im f = B.

Solucion

$\Rightarrow$)

B = {x : B(x)} = {f(0), f(1), ... }

$f(0)=min_{t}(B(t))$
$f(n+1)=min_{t}(f(n)<t\wedge B(t))$

La idea de f es que va probando con todos los numeros naturales y para cada uno de ellos chequea si B(i) es verdadero o no. Si lo es, entonces lo devuelve como valor de la funcion, si no, sigue probando.

$\Leftarrow$)

B es computable sii su funcion caracteristica B(x) lo es.
$B(x)=(\exists t\leq x)f(t)=x$

Como f es computable, entonces B lo es.

Ejercicio 13

Probar que todo conjunto re infinito contiene un subconjunto computable infinito.

Solucion

Sea f p.r. tal que la imagen de f sea igual al conjunto B (r.e. e infinito).

Defino la funcion g tal que:

g(0) = f(0)
g(n+1) = f(min(t) (f(t) > g(n)))

Intuitivamente, la funcion g selecciona los valores que estan en orden creciente en la imagen de f. Como B es infinito, para cualquier indice elegido siempre existira otro mayor tal que la funcion resulte creciente. Por lo tanto, la minimizacion es propia y la funcion g resulta computable ademas de creciente.

Como g es computable y creciente, entonces su imagen define un conjunto, contenido en B, que es computable e infinito (vale por ej 12).

Ejercicio 14

Probar que si B es re y f es una funcion parcialmente computable, entonces $A={x:f(x)\in B}$ es re.

Como B es re, existe g parcialmente computable tal que $B={x:g(x)\downarrow }$

Para que A sea re, tiene que existir una funcion h parcialmente computable tal que $A={x:h(x)\downarrow }$.

Sea h = g(f(x)), parcialmente computable por ser composicion de pc. $g(f(x))=f(x)\in B$

Entonces A es re.

Ejercicio 16

=>) Sea A = We = {x: Φx↓} => x є A si existe un tiempo t tal que Φe(x)↓, entonces
A = {x: ($\exists$ t) STP⁽¹⁾(x,e,t)}, y se sabe que STP es un predicado PR

<=) Sea el predicado PR J(x) = ($\exists$ y) P(x,y), y el siguiente programa P:

[A] IF J(Z)=1 GOTO F
    Z++
    GOTO A
[F] Y <- 1

Como puede verse, P computa la funcion parcialmente computable

f(x) = {1  si J(x)=1
       {↑  sino

Con lo cual B = dom f => B es RE

Ejercicio 17

Definir un predicado pr P tal que $A={x:(\forall y)P(x,y)}$ no sea re.

Sea $P(x,y):=STP(x,x,y)=0$ Como STP es p.r., $P(x,y)$ es claramente p.r. también Notemos ahora que $B=\{x:(\forall y)STP(x,x,y)=0\}$ es lo mismo que $B=\{x|\Phi _{x}(x)\uparrow \}$ , o sea, es el complemento del famoso conjunto $K$ (x tal que Halt(x,x)), que ya sabíamos que no es r.e. porque lo probamos en la teórica/práctica.

Ejercicio 18

Sea $B=\{x\ :\ \Phi _{x}\ es\ una\ funcion\ total\}$

a. Probar que B no es r.e.

b. Probar que $N-B$ no es r.e.

Item A

Este lo hicimos en clase.

Item B

Lo que nos piden probar es que el complemento de B no es r.e. O sea, que el conjunto $A=\{x\ :\ \Phi _{x}\ es\ una\ funcion\ parcial\}$ no es r.e. Supongamos entonces lo contrario. Esta suposición implica que la pertenencia a B es parcialmente computable (devuelve 1 si es true, se cuelga sino).

Definamos entonces:

$f(x,y)={\begin{cases}1\ si\ x\in A\\\uparrow \ sino\end{cases}}$ Por el teorema de la recursión, existe un e tal que: $\Phi _{e}(y)=f(e,y)$, pero entonces:

Si $e\in A\rightarrow \Phi _{e}(y)=1\rightarrow e\ es\ total$ (Absurdo porque partimos de que e era parcial y por eso estaba en A)

Si $e\notin A\rightarrow \Phi _{e}(y)\uparrow \rightarrow e\ es\ parcial$ (Absurdo porque partimos de que e era total y por eso no estaba en A).

Pero entonces superabsurdo, que partió de suponer que A era un conjunto r.e.

Ejercicio 19

Probar que existe un $e$ tal que $W_{e}=\{e\}$.

Tal e existe,por definición de $W_{e}$, si y sólo si existe un $e$ tal que $\{e\}=\{x\in N\ |\ \Phi _{e}(x)\downarrow \}$.

[... EN CONSTRUCCIÓN ...]

Posible resolucion (Sin verificar)

$f(x,y)={\begin{cases}1\ si\ y=x\\\uparrow \ sino\end{cases}}$ Por el teorema de la recursión, existe un e tal que: $\Phi _{e}(y)=f(e,y)$, pero entonces:

$\Phi _{e}(y)$ estará definida solo si y=e, es decir, el dominio de $\Phi _{e}(y)$ será e, eso significa que $W_{e}=\{e\}$ que era lo que queriamos probar.

Ejercicio 20

Demostrar que las funciones definidas en el Ejercicio 10 no son computables aplicando el Teorema de Rice

Item C

f(x,y) = 1  si $\Phi _{x}=\Phi _{y}$
         0  si no

A = {x: $\Phi _{x}=\Phi _{0}$}

Quiero ver que A no es computable por Rice. Para esto tengo que probar que:

1. $A\neq \emptyset$

A representa el conjunto de los programas que computan el programa 0 (aquel que devuelve 0 para toda entrada).

Ejemplo: el programa que computa f(x,y) donde

f(x,y) = (x>y).(y-x)+(x<=y).(x-y)

claramente, esta función hace lo mismo que #P=0 donde P es el programa que computa a

n(x) = 0

Entonces, $A\neq \emptyset$

2. $A\neq N$

Ejemplo: el programa que computa la función constante

g(x) = 8

Además, puede verse que hay programas que no están en A

Entonces, $A\neq N$

3. A es un conjunto de índices

Se dice que A es un conjunto de índices si dado C una clase de funciones parcialmente computables A es el conjunto de los programas que computan a dichas funciones. En este caso, A es el conjunto de los programas que computan lo mismo que $\Phi _{0}$ (la función nula). Entonces dado x perteneciente a A y $\Phi _{x}=\Phi _{y}$ --> y pertenece a A.

Muy bien, ahora, por Rice, A no es computable

Supongo f computable. Entonces f(x,0) es computable. Pero f(x,0) = g(x) es la función característica de A. Absurdo, porque A no es computable --> f no es computable :)

El resto sale de la misma forma :)