Resolución
Puede verse que si ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (x,y)\neq (0,0)} las derivadas parciales de f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} son:
∂ f ∂ x ( x , y ) = ( 3 x 2 y − y 3 ) ( x 2 + y 2 ) − ( x 3 y − x y 3 ) ( 2 x ) ( x 2 + y 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {(3x^{2}y-y^{3})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y-xy^{3})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}
∂ f ∂ y ( x , y ) = ( x 3 − 3 x y 2 ) ( x 2 + y 2 ) − ( x 3 y − x y 3 ) ( 2 y ) ( x 2 + y 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)={\frac {(x^{3}-3xy^{2})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y-xy^{3})(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}
Y que ∂ f ∂ x ( 0 , y ) = − y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,y)=-y}
∂ f ∂ y ( x , 0 ) = x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,0)=x}
Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:
∂ f ∂ x ( 0 , 0 ) = lim t → 0 f ( ( t , 0 ) ) − f ( 0 , 0 ) t = lim t → 0 t .0 ( t 2 − 0 ) t 2 + 0 − f ( 0 , 0 ) t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f((t,0))-f(0,0)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\frac {t.0(t^{2}-0)}{t^{2}+0}}-f(0,0)}{t}}=0}
∂ f ∂ y ( 0 , 0 ) = lim t → 0 f ( ( 0 , t ) ) − f ( 0 , 0 ) t = lim t → 0 0. t ( 0 − t 2 ) 0 + t 2 − f ( 0 , 0 ) t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f((0,t))-f(0,0)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\frac {0.t(0-t^{2})}{0+t^{2}}}-f(0,0)}{t}}=0}
Sabemos por el teorema de Schwarz que si f {\displaystyle f} es C 2 {\displaystyle C^{2}} entonces ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( x , y ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)} . Por contrarrecíproco como no son iguales f {\displaystyle f} no es C 2 {\displaystyle C^{2}} .
las derivadas parciales de 
son:
