Final 21/12/2010 (Análisis II)

Ejercicio 1

Parte a

Posible resolución

Puede verse que si $(x,y)\neq (0,0)$ las derivadas parciales de $f(x,y)$ son:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {(3x^{2}y-y^{3})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y-xy^{3})(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)={\frac {(x^{3}-3xy^{2})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}y-xy^{3})(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}$

Y que por lo tanto:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,y)=-y$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(x,0)=x$

Dado que la división no está definida para el 0, entonces hay que calcular las derivadas parciales utilizando la definición y que ambas verifiquen que dan 0:

${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f((t,0))-f(0,0)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\frac {t.0(t^{2}-0)}{t^{2}+0}}-f(0,0)}{t}}=0$

${\frac {\partial f}{\partial y}}(0,0)=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f((0,t))-f(0,0)}{t}}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {{\frac {0.t(0-t^{2})}{0+t^{2}}}-f(0,0)}{t}}=0$

Es decir que ambas derivadas parciales existen en (0,0) y coinciden con lo que esperábamos verificar.

Parte b

Posible resolución

Para probar que las derivadas cruzadas son distintas lo podemos hacer por definición. Es decir que tenemos:

$\lim _{t->0}{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,t)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)}{t}}=\lim _{t->0}{\frac {-t-0}{t}}=-1$

$\lim _{t->0}{\frac {{\frac {\partial f}{\partial x}}(t,0)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,0)}{t}}=\lim _{t->0}{\frac {t-0}{t}}=1$

Por lo que probamos que las derivadas cruzadas son distintas en el (0,0).

Parte c

Posible resolución

Que $f$ sea de clase $C^{1}$ quiere decir que las derivadas parciales existen y son continuas. Sabemos que existen en todos los puntos del dominio, pues en los puntos distintos del (0,0) $f$ es una composición de funciones de clase $C^{1}$ y por tanto de clase $C^{1}$. Sabemos que en el (0,0) existen las derivadas parciales y su valor es (0,0), restaría probar que son continuas en el (0,0). Un forma es probar que todas las derivadas direccionales son 0 en el (0,0).

Parte d

Resolución

Sabemos por el teorema de Schwarz que si $f$ es $C^{2}$ entonces ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x,y)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}(x,y)$. Por contrarrecíproco como no son iguales $f$ no es $C^{2}$.