Final 22/02/2013 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

a) Enuncie y demuestre la desigualdad de Tchebycheff.

b) Enuncie y demuestre la Ley de los Grandes Números.

c) Sea $X_{1},...,X_{n}$ experimentos Bernoulli de parametro $p$. Sea $S_{n}=X_{1}+...+X_{n}$. Sea $t>0$. ¿Cómo debe ser $n$ para que

$P(|(S_{n}/n)-p|>t)<0,001$

independientemente del valor de $p$ (desconocido).

Ejercicio 2

a) Enunciar y probar el teorema de la probabilidad total.

b) Dar un ejemplo de aplicación del teorema.

c) Sean $A$, $B$ eventos de un espacio muestral $S$. Probar que si $A$ y $B$ son independientes, entonces también lo son $A$ y $B^{c}$.

Ejercicio 3

Sean $T_{n}$ y $W_{n}$ dos estimadores insesgados de $\theta$:

a) Si se combinan para formar un nuevo estimador dado por ${\overset {\sim }{\theta }}^{n}=\alpha T_{n}+\beta W_{n}$ donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes. ¿Qué condiciones son necesarias sobre $\alpha$ y $\beta$ tal que ${\overset {\sim }{\theta }}$ sea insesgado?

b) Si $T_{n}$ y $W_{n}$ son independientes y tienen varianza $V(T_{n})$ y $V(W_{n})$ respectivamente, calcular la varianza de ${\overset {\sim }{\theta }}$.

c) Bajo las condiciones de b). ¿Cuál es la elección de $\alpha$ y $\beta$ que minimiza la varianza de ${\overset {\sim }{\theta }}$ y hace que ${\overset {\sim }{\theta }}$ sea insesgado?

Ejercicio 4

a) Enuncie el Teorema central del límite.

b) Sean $X_{1},X_{2},...X_{n}$ v.a.i.i.d. tales que $X_{i}\sim Bi(1,p)$ y sea $n$ suficientemente grande. Deducir un intervalo de confianza de nivel aproximado $1-\alpha$ para $p$.

c) Se llama $chance$ al coeficiente $c(p)={\frac {p}{1-p}}$.

• Probar que si $p>q$ entonces $c(p)>c(q)$.
• Hallar un intervalo de confianza de nivel aproximado $1-\alpha$ para ${\frac {p}{1-p}}$.