Final 06/08/2013 (Álgebra I)

Ejercicio 3

Dado $P\left(x\right)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ la suma de dos de sus raíces es igual a 0. Entonces $ab=c$

Resolución

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle P\left(x\right) = \left(x-\alpha\right)\left(x-\beta\right)\left(x-\delta\right) = x^{3}-(\alpha+\beta+\delta)x^{2}+(\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta)x-\alpha\beta\delta \\ -a=\alpha+\beta+\delta \\ b=\alpha\beta+\alpha\delta+\beta\delta \\ -c=\alpha\beta\delta}

Sabemos que la suma de dos de sus raices es 0. Entonces $\alpha =-\beta$

Reemplazamos y nos queda $a=-\delta b=-\beta ^{2}c=\beta ^{2}\delta$ Luego vemos que se verifica que $ab=c$

Ejercicio 4

Texto larguísimo. La cosa era mas o menos así. Tenemos menos de 600 monedas, en una cantidad par. Se las repartian en filas de a 17 y sobraban 8. Luego se repartían la mitad en filas de 7 y sobraban 3. ¿Cuantas monedas son?¿Pueden ser varias?

Resolución

Esos datos en concreto se resumen en (c representa a cantidad) $c\equiv 0\left(2\right)c\equiv 8\left(17\right)\left({\frac {c}{2}}\right)\equiv 3\left(7\right)=c\equiv 6\left(7\right)$ Luego aplicando TCR nos quedaba como solución x=238q+76 Y entonces las cantidades posibles son varias y menores que 600, van a ser: 76,314,552

2) Dado U un conjunto de n elementos y dados $A,B\subseteq U$ Y los siguientes valores: (Esto $\star$ va a representar el cardinal ya que el latex pincha con el numeral) $\star A\cap B={\frac {2n}{5}}\star B={\frac {1n}{2}}\star \left(A\cap B^{c}\right)^{c}={\frac {13n}{20}}$ Calcular $-\star A-\star A\bigtriangleup B$ Resolución Primero que nada Esta cosa $\star \left(A\cap B^{c}\right)^{c}={\frac {13n}{20}}$ es igual que decir $\star \left(A-B\right)^{c}$ Entonces $\star A=\star U-\star \left(A-B\right)^{c}+\star A\cap B$ Entonces $\star A=n-{\frac {13n}{20}}+{\frac {2n}{5}}={\frac {3n}{4}}$ Ahora el otro $\star A\bigtriangleup B=\star A+\star B-2\left(\star A\cap B\right)$ Entonces $\star A\bigtriangleup B={\frac {3n}{4}}+{\frac {1n}{2}}-2\left({\frac {13n}{20n}}\right)={\frac {9n}{20}}$

1) La cantidad de relaciones simétricas que se pueden hacer dado un conjunto finito de n elementos. 5) Dados z,w raices n-esimas de la unidad probar que $(z+w)^{n}$ pertenece a los reales.