Práctica 2 (LyC Verano)

Ejercicio 1

Sean las funciones totales $\phi :I\!\!N^{2}\to I\!\!N$ y $\psi :I\!\!N\to I\!\!N$. Sabiendo que la suma es una función recursiva, analizar si las siguientes definiciones de $f\,\!$ son definiciones por recursión primitiva a partir de $\phi \,\!$ y $\psi \,\!$.

Para cada una de las definiciones que representen una recursión primitiva, especificar las funciones asociadas al esquema de recursión primitiva a partir del cual se obtiene $f\,\!$.

Ítem a

${\begin{cases}f(x,0)&=17\\f(x,y+1)&=f(0,\phi (x,y))\end{cases}}$

Solución

La función no es recursiva, alcanza con ver que si $\phi (x,y)\geq y)\,\!$, nunca se puede descender al caso base.

Ítem b

${\begin{cases}f(x,0)&=\phi (x,x)\\f(x,y+1)&=f(\phi (x,y),y)\end{cases}}$

Solución

Definamos $f(x,y)=f'(x,y,y)\,\!$, Donde f' es

${\begin{cases}f'(x,y,0)&=\phi (x,x)\\f'(x,y,i+1)&=\phi (f'(x,y,i),y-i)=g(i,f'(x,y,i),x,y)\end{cases}}$

Entonces f' es PR -> f es PR

Otra Solución

Definamos ${\mbox{f}}(x,y)={\begin{cases}\phi (x,x)&{\mbox{si }}y=0\\\phi (K(x,y-1,y-1),K(x,y-1,y-1))&{\mbox{si }}y>0\\\end{cases}}$

Donde K es

${\begin{cases}K(x,y,0)&=\phi (x,y)\\K(x,y,t+1)&=\phi (K(x,y,t),y-(t+1))\end{cases}}$

Entonces f es PR por composición de funciones PR.

Ítem c

${\begin{cases}f(x,0)&=\psi (x)\\f(x,y+1)&=f(x,y)+\phi (y,x)\end{cases}}$

Solución

Se define:

$g(a,b,c)=b+\phi (a,c)\,\!$

Que es p. r. por ser suma y composición. Luego,

$f(x,y+1)=f(x,y)+\phi (y,x)=g(y,f(x,y),x)\,\!$

Que es la forma buscada.

Ítem d

${\begin{cases}f(x,0)&=\phi (0,x)\\f(x,y+1)&=\phi (f(x,y),y+1)\end{cases}}$

Solución

Se define:

$g(t,v,x)=\phi (v,t+1)\,\!$

Que es p. r. por ser suma y composición. Luego,

$f(x,y+1)=\phi (f(x,y),y+1)=g(y,f(x,y),x)\,\!$

Que es la forma buscada.

Ejercicio 2

Probar que las siguientes funciones son primitivas recursivas, mostrando que pueden obtenerse a partir de las funciones iniciales o a través de composición o recursión primitiva.

Ítem a

${\mbox{max}}(x,y)={\begin{cases}x&{\mbox{si }}x\geq y\\y&{\mbox{si }}x<y\\\end{cases}}$

Solución

Definimos primero el decremento:

${\begin{cases}{\mbox{decr}}(0)&=0\\{\mbox{decr}}(t+1)&=t\\\end{cases}}$

Luego,

${\begin{cases}{\mbox{max}}(0,y)&=y\\{\mbox{max}}(t+1,y)&=1+{\mbox{max}}(t,{\mbox{decr}}(y))\\\end{cases}}$

Ítem b

${\mbox{min}}(x,y)={\begin{cases}x&{\mbox{si }}x\leq y\\y&{\mbox{si }}x>y\\\end{cases}}$

Solución

Definimos la resta acotada:

${\begin{cases}x{\dot {-}}0&=x\\x{\dot {-}}(t+1)&={\mbox{decr}}(x){\dot {-}}t\\\end{cases}}$

Luego,

${\mbox{min}}(x,y)=(x+y){\dot {-}}{\mbox{max}}(x,y)$

Ítem c

${\mbox{par}}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}x{\mbox{ es par}}\\0&{\mbox{si }}x{\mbox{ es impar}}\\\end{cases}}$

Solución

Definimos la negación:

${\begin{cases}\alpha (0)&=1\\\alpha (t+1)&=0\\\end{cases}}$

Luego,

${\begin{cases}{\mbox{par}}(0)=1\\{\mbox{par}}(t+1)=\alpha ({\mbox{par}}(t))\\\end{cases}}$

Ítem d

${\mbox{hf}}(x)=\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor$

Solución

${\begin{cases}{\mbox{hf}}(0)&=0\\{\mbox{hf}}(t+1)&={\mbox{hf}}(t)+{\mbox{par}}(t)\\\end{cases}}$

Ítem e

${\mbox{sqrt}}(x)=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor$

Solución

Definimos producto:

${\begin{cases}x\cdot 0&=0\\x\cdot (t+1)&=x+(x\cdot t)\\\end{cases}}$

${\mbox{sqrt}}(x)=\sum _{i=1}^{x}((i\cdot i)>x)$

Ítem f

${\mbox{psq}}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}x{\mbox{ es un cuadrado perfecto}}\\0&{\mbox{si }}{\mbox{en otro caso}}\\\end{cases}}$

Solución

Definimos igualdad,

$(x=y)=\alpha ((x>y)+(y>x))\,\!$

Luego,

${\mbox{psq}}(x)=({\mbox{sqrt}}(x)\cdot {\mbox{sqrt}}(x)=x)$

Ejercicio 3

Sean $\phi :I\!\!N^{2}\to I\!\!N$ y $\psi :I\!\!N\to I\!\!N$ funciones primitivas recursivas. Mostrar que las siguientes funciones también son primitivas recursivas.

Ítem a

La función $f_{1}:I\!\!N\to I\!\!N$ definida como:

${\begin{cases}f_{1}(0)&=0\\f_{1}(1)&=1\\f_{1}(2)&=2^{2}\\&\vdots \\f_{1}(n)&=\underbrace {n^{n^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}} _{n{\mbox{veces}}}\\\end{cases}}$

Solución

Definimos exponenciación:

${\begin{cases}x^{0}&=1\\x^{t+1}&=x\cdot x^{t}\\\end{cases}}$

Luego definimos una función auxiliar:

${\begin{cases}{\mbox{supexp}}(a,b,0)&=a\\{\mbox{supexp}}(a,b,t+1)&={\mbox{supexp}}(a,b,t)^{b}\\\end{cases}}$

Entonces:

$f_{1}(n)={\mbox{superexp}}(n,n,n)\,\!$

Ítem b

La función $f_{2}:I\!\!N\to I\!\!N$ definida como:

${\begin{cases}f_{2}(0)&=\psi (0)\\f_{2}(1)&=\psi (\psi (1)+1)+1\\&\vdots \\f_{2}(x)&=\underbrace {\psi (\psi (\dots (\psi } _{x+1{\mbox{veces}}}(x)+1)\dots )+1)+1\\\end{cases}}$

Solución

Definimos una función auxiliar:

$\lambda (x,n)=\underbrace {\psi (\psi (\dots (\psi } _{n+1{\mbox{veces}}}(x)+1)\dots )+1)$

${\begin{cases}\lambda (x,0)&=\psi (x)\\\lambda (x,t+1)&=\psi (\lambda (x,t)+1)\\\end{cases}}$

$f_{2}(x)={\begin{cases}\psi (x)&{\mbox{si }}x=0\\\lambda (x,x)+1&{\mbox{sino}}\\\end{cases}}$

Ítem c

La función $f_{3}:I\!\!N^{2}\to I\!\!N$ definida como:

${\begin{cases}f_{2}(x,0)&=\phi (x,0)\\f_{2}(x,1)&=\phi (\phi (x,1),0)\\&\vdots \\f_{2}(x,y)&=\underbrace {\phi (\phi (\dots (\phi (\phi } _{y+1{\mbox{veces}}}(x,y),y-1\dots ),1),0)\\\end{cases}}$

Solución

Definimos una función auxiliar:

${\begin{cases}\sigma (x,y,0)&=\phi (x,y)\\\sigma (x,y,t+1)&=\phi (\sigma (x,y,t),y{\dot {-}}(t+1))\\\end{cases}}$

Luego,

$f_{2}(x)=\sigma (x,y,y)$

Ejercicio 4

Usar las definiciones por sumas y/o productos acotados para establecer la recursividad primitiva de cada una de las siguientes funciones. Suponer que $g:I\!\!N\to I\!\!N$ es una función primitiva recursiva.

Ítem a

$f(x,y)=\sharp \{i:0\leq i\leq x\land g(i)>y\}$

Solución

$f(x,y)=\sum _{i=0}^{x}(g(i)>y)$

Ítem b

$f(x,y)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}g(i+1)>g(i){\mbox{ para todos los valores de }}t/x\leq i\leq y\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}$

Solución

$f(x,y)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}x>y\\\prod _{i=x}^{y}(g(i+1)>g(i))&{\mbox{sino}}\end{cases}}$

Ítem c

$f(w,x,y)={\begin{cases}1&{\mbox{si }}x\leq y{\mbox{ y }}w{\mbox{ es el mayor entre }}g(x),g(x+1),\dots ,g(y)\\0&{\mbox{en otro caso}}\end{cases}}$

Solución

$f(w,x,y)=\alpha (x>y)\cdot \prod _{i=x}^{y}\alpha (w<g(i))\cdot \alpha (\alpha (\sum _{i=x}^{y}(w=g(i)))$

Otra Solución

$f(w,x,y)=(x\leq y)\cdot \prod _{i=x}^{y}(w\geq g(i))\cdot (\sum _{j=x}^{y}(w=g(j))\geq 1)$

Ejercicio 5

Probar que las funciones dadas a continuación son primitivas recursivas. Pueden usarse como funciones auxiliares las dadas en las clases teóricas y prácticas o las ya calculadas anteriormente.

Ítem a

${\mbox{shr}}(x,n)=\left\lfloor {\frac {x}{2^{n}}}\right\rfloor$

Solución

${\begin{cases}{\mbox{shr}}(x,0)&=x\\{\mbox{shr}}(x,t+1)&={\mbox{hf}}({\mbox{shr}}(x,t))\\\end{cases}}$

Ítem b

$\lg(x)={\begin{cases}0&{\mbox{si }}x=0\\\left\lfloor \log _{2}(x)+1\right\rfloor &{\mbox{en otro caso}}\\\end{cases}}$

Solución

${\begin{cases}\lg(0)&=0\\\lg(x)&=min_{t\leq x}(2^{t+1}>x)\end{cases}}$

Ítem c

${\mbox{dig}}(x,n)=$ el n-ésimo dígito en la representación binaria de $x\,\!$, contando desde la derecha y comenzado con 0.

Así, ${\mbox{dig}}(13,0)=1\,\!$, ${\mbox{dig}}(13,1)=0\,\!$, ${\mbox{dig}}(13,2)=1\,\!$, ${\mbox{dig}}(13,3)=1\,\!$, ${\mbox{dig}}(13,4)=0\,\!$, etc.

Solución

${\mbox{dig}}(x,n)=\alpha ({\mbox{par}}({\mbox{shr}}(x,n)))\,\!$

Ítem d

${\mbox{wgt}}(x)=$ el número de unos en la representación binaria de $x\,\!$.

Solución

${\mbox{wgt}}(x)=\sum _{i=0}^{lg(x)}{\mbox{dig}}(x,i)$

Ítem e

${\mbox{Pr}}(n,m)=$ es la cantidad de números primos entre $n\,\!$ y $m\,\!$.

Solución

${\mbox{Pr}}(n,m)=\sum _{i=n}^{m}{\mbox{Prime}}(i)$

Ejercicio 6

Mostrar que la función $f:I\!\!N\to I\!\!N/f(n)=[1,\dots ,n]$ es primitiva recursiva.

Solución

$f(n)=\prod _{i=1}^{n}P_{i}^{i}$

Ejercicio 7

Mostrar que la función ${\mbox{cant}}:I\!\!N\times I\!\!N\to I\!\!N$ definida como

${\mbox{cant}}(y,[x_{1},\dots ,x_{n}])=\,\!$ cantidad de apariciones de $y\,\!$ en la lista $[x_{1},\dots ,x_{n}]\,\!$

para todo $x_{1},\dots ,x_{n}\in I\!\!N,x_{n}\neq 0$ es primitiva recursiva.

Solución

${\mbox{cant}}(y,[x_{1},\dots ,x_{n}])=\sum _{i=1}^{|n|}(n[i]=y)$

Ejercicio 8

Para $n,x_{1},\dots ,x_{n}\in I\!\!N,\forall i:x_{i}\neq 0$, se define ${\mbox{Sort}}([x_{1},\dots ,x_{n}])=[y_{1},\dots ,y_{n}]\,\!$, donde la secuencia $[y_{1},\dots ,y_{n}]\,\!$ es una permutación de $[x_{1},\dots ,x_{n}]/y_{1}\leq y_{2}\leq \dots \leq y_{n}\,\!$. Mostrar que ${\mbox{Sort}}\,\!$ es primitiva recursiva.

Solución

Sabemos que podemos obtener una secuencia ordenada con una serie de permutaciones de a dos elementos que están fuera de orden el uno con respecto al otro, como lo hace Bubble Sort. (Habría que probar esto?)

Entonces, comparamos el paso $t\,\!$ y el paso $t+1\,\!$, observando la secuencia como un número de Gödel:

En el paso $t\,\!$ tenemos: $x_{t}=k\cdot P_{i}^{V_{i}}\cdot P_{j}^{V_{j}}\,\!$, donde se observan los dos elementos que se van a permutar y la constante que representa al resto de la secuencia que no se modifica.

En el paso $t+1\,\!$ queda: $x_{t+1}=k\cdot P_{i}^{V_{j}}\cdot P_{j}^{V_{i}}\,\!$.

Además, sabemos que $k>0\,\!$, $i<j\Rightarrow P_{i}<P_{j}\,\!$ y que $V_{j}\leq V_{i}\,\!$ (porque están fuera de orden), entonces:

${\frac {P_{i}}{P_{j}}}<1$

$V_{i}-V_{j}\geq 0$

Luego,

$\left({\frac {P_{i}}{P_{j}}}\right)^{V_{i}-V_{j}}\leq 1$

$P_{i}^{V_{i}-V_{j}}\leq P_{j}^{V_{i}-V_{j}}$

$P_{i}^{V_{i}}\cdot P_{j}^{V_{j}}\leq P_{j}^{V_{i}}P_{i}^{V_{j}}$

$x_{t}=k\cdot P_{i}^{V_{i}}\cdot P_{j}^{V_{j}}\leq P_{j}^{V_{i}}P_{i}^{V_{j}}=x_{t+1}$

$\Rightarrow x_{1}\leq x_{2}\leq \dots \leq x_{n}$

Y por lo tanto, si este procedimiento nos permite llegar de cualquier secuencia a una secuencia $x_{n}$ ordenada, tenemos que el número de Gödel de la secuencia ordenada es el mayor de los números de todas las permutaciones.

Entonces, definimos una función que busca el mayor elemento de la secuencia:

${\begin{cases}{\mbox{mayor}}(x,1)&=x[1]\\{\mbox{mayor}}(x,t+1)&={\mbox{max}}({\mbox{mayor}}(x,t),x[t+1])\\\end{cases}}$

Definimos una cota:

$c(x)=\prod _{i=1}^{|x|}P_{i}^{mayor(x,|x|)}$

Y finalmente, buscamos la máxima permutación:

${\mbox{Sort}}(x)={\mbox{max}}_{t\leq c(x)}[(\forall 1\leq u\leq |x|)({\mbox{Cant}}(x[u],x)={\mbox{Cant}}(x[u],t))]$

Ejercicio 9

Mostrar que la función de Fibonacci

${\begin{cases}F(0)&=0\\F(1)&=1\\F(n+2)&=F(n)+F(n+1)\\\end{cases}}$

es primitiva recursiva.

Solución

Definimos una función auxiliar:

${\begin{cases}f(0)&=\ \langle 0,0\rangle \\f(1)&=\ \langle 0,1\rangle \\f(t+1)&=\ \langle r(f(t)),r(f(t))+l(f(t))\rangle \\\end{cases}}$

Entonces: $F(n)=r(f(n))\,\!$

Ejercicio 10

Sea $f:I\!\!N\to I\!\!N^{+}\,\!$ una función primitiva recursiva. Mostrar que la función ${\mbox{map}}\,\!$ definida como

${\mbox{map}}([x_{1},\dots ,x_{n}])=[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]\,\!$

para todo $x_{1},\dots ,x_{n}\in I\!\!N,x_{n}\neq 0$ es primitiva recursiva.

Solución

${\mbox{map}}(x)=\prod _{i=1}^{|x|}P_{i}^{f(x[i])}$

Ejercicio Extra 1

Probar que las funciones $f_{1}\,\!$ y $f_{2}\,\!$ del Ejercicio 8 de la práctica de funciones computables son primitivas recursivas, siempre que g, s y t lo sean.

Solución

Primer problema:

${\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n},0)&=g(x_{1},\dots ,x_{n},0)\\f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n},t+1)&={\mbox{max}}(f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n},t),g(x_{1},\dots ,x_{n},t+1)\\\end{cases}}$

Segundo problema. Primero definimos una función auxiliar:

${\begin{cases}\theta (x_{1},\dots ,x_{n},z,0)&=g(x_{1},\dots ,x_{n},z)\\\theta (x_{1},\dots ,x_{n},z,t+1)&={\mbox{max}}(\theta (x_{1},\dots ,x_{n},z,t),g(x_{1},\dots ,x_{n},z+t+1)\\\end{cases}}$

Luego,

$f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n},y)=\alpha [s(y)>t(y)]\cdot \theta (x_{1},\dots ,x_{n},s(y),t(y){\dot {-}}s(y))$