Final 02/03/2012 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

a) Defina función de distribución acumulada de una variable aleatoria X. Deduzca la fórmula para la uniforme [-3, 4].

b) Deduzca la función de distribución acumulada de la Geométrica, cuya función de distribución puntual es $(1-p)^{k-1}p$.

c) Defina Proceso de Poisson de parámetro $\lambda$. Demuestre que la variable aleatoria $T_{1}$ = "Tiempo en el que ocurrió el primer evento" es una $\varepsilon (\lambda )$.

Ejercicio 2

a) Defina convergencia en Distribución. Demuestre que la sucesión de variables aleatorias $X_{n}$ independientes de distribución $Bi(n,{\frac {\lambda }{n}})$ converge en distribución a $X\sim \wp (\lambda )$.

b) Defina convergencia en Probabilidad. Sea $Y_{n}$ sucesión de variables aleatorias independientes Bernoulli(p), Demuestre que $Y_{n}$ converge en distribución a $Y\sim$ Bernoulli(p) pero no en probabilidad.

c) Sea $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$, Demuestre que ${\frac {X-\mu }{\sigma }}\sim N(0,1)$ y que si $Z\sim N(0,1)\ \ \sigma Z+\mu \sim N(\mu ,\sigma ^{2})$.

Ejercicio 3

a) Sea $X\sim$Bernoulli(p). Dada una m.a. de $X_{1}...X_{n}$ encuentre el EMV de p. b) ¿Es este estimador insesgado, consistente? Justifique.

Ejercicio 4

a) Sea $X_{1}...X_{n}$. X ~ Be(p) . Encontrar un intervalo de confianza de nivel exacto 1-\alpha para p. Encontrar un IC de nivel asintótico para p. Explique con sus palabras qué significado tiene el intervalo hallado.

b) $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$ . Construir un intervalo de confianza de nivel $1-\alpha$ para $\mu$ si $\sigma ^{2}$ es desconocido. A partir de ahí construirse un Test de Hipótesis de nivel $\alpha$ con $H_{o}:\mu =\mu _{o}H_{1}:\mu \neq \mu _{o}$