Segundo Parcial 07/07/2006 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 3

Calcular la siguiente integral asegurando que el error cometido sea menor aque $10^{-2}$.
(a) $\int _{-1}^{1}|e^{x^{3}}-1|dx$
Justificar el procedimiento y el método elegido.

NOTA: Aca tiene que ir la parte de sergio, de trapecios y de que da 53.

Calculemos en cuantas partes deberiamos partir por simpson compuesto para obtener un error menor a $10^{-2}$:
Primero saquemos el modulo de la funcion:
$e^{x^{3}}-1\geq 0\Longleftrightarrow e^{x^{3}}\geq 1$
$\Longleftrightarrow x^{3}\geq log1$ $\Longleftrightarrow x^{3}\geq 0$ $\Longleftrightarrow x\geq {\sqrt[{3}]{0}}$ $\Longleftrightarrow x\geq 0$
Entonces partimos nuestra funcion (que ahora llamamos $f(x)$): $f(x)={\begin{cases}e^{x^{3}}-1&si\ x\geq 0\\1-e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}$
Y ahora calculamos las derivadas para poder calcular el error de Simpson:
$f'(x)={\begin{cases}3x^{2}e^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-3x^{2}e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}$
$f''(x)={\begin{cases}9x^{4}e^{x^{3}}+6xe^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-9x^{4}e^{x^{3}}-6xe^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}$
$f^{(3)}(x)={\begin{cases}27x^{6}e^{x^{3}}+54x^{3}e^{x^{3}}+6e^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-27x^{6}e^{x^{3}}-54x^{3}e^{x^{3}}-6e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}$
$f^{(4)}(x)={\begin{cases}81x^{8}e^{x^{3}}+324x^{5}e^{x^{3}}+180x^{2}e^{x^{3}}&si\ x\geq 0\\-81x^{8}e^{x^{3}}-324x^{5}e^{x^{3}}-180x^{2}e^{x^{3}}&si\ x<0\\\end{cases}}$
Como la 3era derivada no es continua en el 0, no creo que se pueda usar Simpson, asi que lo partimos en 2 pedazos y aplicamos Simpson en cada uno.
El error de simpson es:
$E(a,b,n,f)={\frac {(b-a)}{180}}h^{4}f^{(4)}(\xi )$ En nuestro caso:
$E_{-1\ a\ 0}(n)={\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )$
$E_{0\ a\ 1}(n)={\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )$
Es igual en los dos intervalos, por lo que tomamos que nuestro error total va a ser el doble de eso.
$E(n)=E_{-1\ a\ 0}(n)+E_{0\ a\ 1}(n)=2{\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )$
Ahora tratemos de acotar la derivada cuarta.
$x\in [-1,1]\Longrightarrow |81x^{8}e^{x^{3}}+324x^{5}e^{x^{3}}+180x^{2}e^{x^{3}}|\leq 81|x^{8}|e^{x^{3}}+324|x^{5}|e^{x^{3}}+180x^{2}e^{x^{3}}$
$\Longrightarrow 81e+324e+180e=585e$
Entonces ahora tratamos de acotar el error:
$E(n)=E_{-1a0}(n)+E_{0a1}(n)=2{\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}f^{(4)}(\xi )\leq {\frac {1}{90}}{\frac {1}{n}}^{4}585e$
Y queremos que esto sea menor que $10^{-2}$.
$2{\frac {1}{180}}{\frac {1}{n}}^{4}585e\leq 10^{-2}$ $\Longleftrightarrow 585e\leq n^{4}90.10^{-2}$ $\Longleftrightarrow {\frac {585e}{90.10^{-2}}}\leq n^{4}$ $\Longleftrightarrow {\sqrt[{4}]{\frac {585e}{90.10^{-2}}}}\leq n$ $\Longleftrightarrow {\sqrt[{4}]{\frac {585e}{90.10^{-2}}}}\leq n$ $\Longleftrightarrow 6,483\leq n$ $\Longleftrightarrow 7\leq n\rightarrow 8$ (Simpson)
Ahora aplicamos la regla:
$h=(1-(-1))/8=1/4$
${\frac {1}{4}}{\Big [}(f(-1)+4f(-3/4)+f(-1/2))+(f(-1/4)+4f(0)+f(1/4))+$
$(f(1/2)+4f(3/4)+f(1)){\Big ]}\approx 0,75$