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Ejercicio 1
¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)?
. El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un
que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0.
Entonces t está en S
.
Entonces el punto más cercano es
Ejercicio 2
Sean
fijos. ¿Qué número real t hace que
sea mínimo
Minimizar
es lo mismo que minimizar
pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion
y minimizemosla:
![{\displaystyle f(t)=||a-t*b||^{2}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}-tb_{i})^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dae9d76f7527f19f6fa4c808151ccbf4befc6f9)
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0.
![{\displaystyle f'(x)=\left(\sum _{i=0}^{n}(a_{i}-tb_{i})^{2}\right)'}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96eca31e8114668a3d73b37db37f7cc52a97de95)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}-2b_{i}(a_{i}-tb_{i})}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a2ddd40c4592a5f2a89061b5a1c005cf640b0e3)
![{\displaystyle =\sum _{i=0}^{n}-2b_{i}a_{i}-t-2b_{i}^{2}=0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d499de4f8d4c8421d48fa2a4833aff7701f2bda2)
![{\displaystyle \Longleftrightarrow \sum _{i=0}^{n}-2b_{i}a_{i}-\sum _{i=0}^{n}t-2b_{i}^{2}=0}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba05e95d0e32ee836605a3964115f13c694188e1)
![{\displaystyle \Longleftrightarrow \sum _{i=0}^{n}-2b_{i}a_{i}=\sum _{i=0}^{n}t-2b_{i}^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6e8e5a2d8fd835d048fb0a678a1525aa49b342)
![{\displaystyle \Longleftrightarrow \sum _{i=0}^{n}b_{i}a_{i}=t\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88ce543d708eb4bf20d1869b972e4741650ab55)
![{\displaystyle \Longleftrightarrow {\frac {\sum _{i=0}^{n}b_{i}a_{i}}{\sum _{i=0}^{n}b_{i}^{2}}}=t}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fafd8a8f854f85fc9bb5d18d0963528dc5cfbea)
Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular
y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...
Ejercicio 3
Sea
. Se define el espacio columna de A como el subespacio de
generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de
generado por las filas de A.
Ejercicio 3. a
Probar que el espacio columna de A es
.
.
.
.
.
Ejercicio 3. d
Probar que el espacio fila de A es
.
La idea es que alguien pertenece a
solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de
. Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de
, por lo que pertenece a
. La vuelta es si pertenece a
, entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.
Ejercicio 3. c
Probar que
.
es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de
. Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antes
.
Ejercicio 4
Sean u y v vectores ortogonales en
entonces
(Teorema de Pitágoras).
![{\displaystyle \|u+v\|_{2}^{2}=(u+v)\times (u+v)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c8f37fd01177ea28397a8257ba087a5d33de485)
![{\displaystyle =u\times (u+v)+v\times (u+v)}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eed2b47eaf615b25737e858040868d6d95db9277)
.
Como u y v son ortogonales, entonces
y luego: ![{\displaystyle \|u+v\|_{2}^{2}=(u\times u)+(v\times v)=\|u\|_{2}+\|u\|_{2}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8dfe1f854bc88b37da4532a104e304d4abc774d)
Ejercicio 5
Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio
, entonces para todo
.
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...
Ver
http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html
o
http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html
Ejercicio 9
Supongamos que Ax = y. Probar que un vector
satisface
si y sólo si
.Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.
Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que
. Sea
, entonces
es otra solución del sistema. Absurdo!
Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x,
, soluciones del sistema Ax=b. Entonces
. Pero
y Nu(a) = {0}. Absurdo!
Ejercicio viejo
La función
es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si
. Calcular
y demostrar que
(ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...