Final 05/08/2013 (Probabilidad y Estadística)

(resolver 10, se aprueba con 6)

1. Demuestre la desigualdad de Markov. A partir de ahí deduzca la desigualdad de Chevichev. Enuncie y demuestre la ley de los grandes números para variables independientes con varianza finita.

2. Defina función generadora de momentos y calcule la función generadora de momentos de la variable Poisson($\lambda$). Use ese cálculo para probar que suma de v.a. Poisson independientes es Poisson.

3. Si $T_{n}$ es el instante de la $n$-ésima llegada de un proceso de Poisson de tasa $\lambda$, demuestre que $T_{n}$ tiene distribución Gama de parámetros $n$ y $\lambda$.

4.Suponga que sabe generar números aleatorios uniformes en $[0,1]$. Describa un algoritmo para generar una permutación uniforme de los números $\{1,...,n\}$. ¿Por qué la permutación obtenida tiene probabilidad 1/$n!$?

5. Una gallina pone $N$ huevos por día. $N$ es una variable uniforme discreta en $\{0,1,2\}$. De cada huevo nace un pollo con probabilidad 1/4. Sabemos que el martes pasado nació 1 pollo, ¿cuál es la probabilidad de que ese día la gallina haya puesto 2 huevos? ¿Qué tuvo que asumir para poder hacer este cálculo?

6. Dos personas deciden encontrarse un día entre las 15 y las 16. Cada uno llega en instantes independientes distribuidos uniformemente en ese intervalo y espera 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren?

7. Juan vive en una esquina de la única calle de un pueblo que va de norte a sur. Saca a pasear al perro por esa calle y en cada esquina decide ir al sur con probabilidad 1/2 o al norte con la misma probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad que después de haber caminado 10 cuadras se encuentre de nuevo en su casa? ¿Y cuál es la probabilidad que no haya vuelto a pasar por su casa?

8. Encuentre un vector $(X_{1},X_{2})$ de variables aleatorias continuas no independientes pero con coeficiente de correlación nulo. Justifique.

9. Sean $X_{1},X_{2},...$ y $N$ variables aleatorias independientes con la misma esperanza finita, $N$ independiente de los $X_{i}$ con esperanza finita y tal que $P(N\in \mathbb {N} )=1$. Hallar la esperanza de $\sum _{i=1}^{N}X_{i}$.

10. Hay 3 bolillas distribuidas en 2 urnas. A cada instante una bolilla es elegida al azar y cambiada de urna. Sea $X_{n}$ el número de bolillas en la primera urna en el instante $n$. Justifique que $X_{n}$ es una cadena de Markov y exhiba la matriz de transición. Si sabemos que $X_{0}=2$, ¿cuál es la probabilidad que $X_{2}=2$?

11. Encuentre el estimador de máxima verosimilitud de $\theta$ para una variable aleatoria uniforme en el intervalo $[\theta ,1]$.

12. Construya un intervalo de confianza asintótico para el parámetro $p$ de una distribución Bernoulli.

13. Sean $X_{1},...,X_{n}$ variables aleatorias independientes con distribución Normal(0,1). ¿Cuál es el error al aproximar ${\bar {X}}_{n}/{\sqrt {n}}$ por una variable Normal(0,1)? Justifique.

14. Construya un test de hipótesis para la media de una distribución normal con varianza conocida. Enuncie el test, describa la zona de rechazo de $H_{0}$, explique los tipos de error cometidos y cómo controla el error de tipo 1.