Final 09/03/2012 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1

a) Mostrar como calcular $E(h(X,Y))$ , y usarlo para demostrar $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$.

b) Demostrar desigualdad de Chebyshev.

c) Demostrar Ley de los Grandes Números.

Ejercicio 2

a) Demostrar que dado Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle U \~ U[0,1]} y $G$ una acumulada contínua y estrictamente creciente, si $X=G^{-1}(U)$ entonces F(X)=G . Usar eso para generar una función que dado una uniforme aleatoria genere una exponencial aleatoria.

b) $f(x,y)=\left\{{\begin{matrix}k(x^{2}+y^{2})&{\text{si }}x,y\in [0,1]\\0&{\text{en caso contrario}}\end{matrix}}\right.$

Encontrar $k$ y la marginal $X$

c) Para la $f$ anterior, encontrar $P(X+Y\geq 1)$

Ejercicio 3

a) Explicar el método de estimación por momentos, y usarlo para calcular un estimador de para al exponencial.

b) ¿Es el estimador insesgado? ¿Consistente?

Ejercicio 4

a) Encontrar un intervalo de confianza para al varianza de una normal de esperanza conocida

b) Mostrar el área de rechazo para una test de hipótesis sobre una normal siendo

• $H_{0}\mu =\mu _{0}$
• $H_{1}:\mu <\mu _{0}$

Definir función de potencia y calcularla.