Final 18/09/2017 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $h:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función de clase ${\mathcal {C}}^{3}$ tal que su polinomio de Taylor centrado en el (0,0) es $P(x,y)=2x+y^{2}$. Sea $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ dada por $g(x,y)=e^{h(x,y)}+xy-2x-1$

1. Probar que $p=(0,0)$ es punto crítico de g y clasificarlo.
   
2. Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función tal que $f(0,0)=0$ y vale que
   
$f(x,y)\geq g(x,y)\ \ \ \ \forall (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$

Probar que f tiene un mínimo local en (0,0).

Ejercicio 2

Sea $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$ una función continua tal que $\int _{0}^{1}f(t)dt=0$

1. Probar que si $R:\ [0,1]\times [0,1]$ $\iint _{R}f(x)\ dx\,dy\ =\ \iint _{R}f(y)\ dx\,dy\ =\ 0$
2. Sea $D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}\leq 1\}$ es cierto que: $\iint _{D}f\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)dx\,dy=0$

Ejercicio 3

Sea $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ continua, $I=(a,b)\subset \mathbb {R}$ un intervalo abierto. Probar que si $f(x_{0})\in I$ entonces $\exists \,U\subset \mathbb {R}$ intervalo abierto entorno de $x_{0}$ tal que $f(x)\in I\ \ \forall x\in U$.

Ejercicio 4

Sea $I=[a,b]\subset \mathbb {R}$ un intervalo compacto. Probar que toda función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ es integrable.