Final 23/07/2013 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ continua. Probar que $f$ es integrable en $[a,b]$

Ejercicio 2

Sea $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ de clase $C^{1}$ y $g:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ definida por

$g(x,y)=f(e^{x^{2}+y},sen(2xy))$

Supongamos que el plano tangente al gráfico de $f$ en el punto $(1,0,f(1,0))$ está dado por $z-4x+2y=1$.

Encontrar la dirección en la que la función $z=g(x,y)$ crece más rápidamente en el punto $(0,0)$.

Ejercicio 3

Sea $P\in \mathbb {R} ^{2}$ un punto en el plano y $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ una función de clase $C^{1}$ tal que $F(X)=0$ si y solo si $X=P$. Probar que $\nabla F(P)=0$.

Ejercicio 4

a) Sea $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ diferenciable en un punto $P$. Probar que $f$ es continua en $P$ y que existen las derivadas parciales de $f$ en $P$.

b) Encontrar una función $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ tal que $f$ es continua en $(0,0)$ y existen las derivadas parciales de $f$ en $(0,0)$, pero $f$ no es diferenciable en $(0,0)$.