Final 23/12/2002 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Determinar cuántas funciones biyectivas $f:\left\{1,2,3,\ldots ,16\right\}\;\rightarrow \;\left\{1,2,3,\ldots ,16\right\}$ satisfacen que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(a) \equiv a \; (8)} para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a \in \left \{1, 2, 3, \ldots , 16 \right \} }

Ejercicio 2

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sim } la relación de equivalencia en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_8 } definida por

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z \sim w \; \Leftrightarrow \; z^6 = w^6 }

Hallar la clase de equivalencia de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} } i }

Ejercicio 3

Hallar los Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a \in \mathbb{R}} tales que (al menos) una raíz cúbica de la unidad es raíz del polinomio

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f = X^7 - X^4 + aX^3 - 2}

Para cada valor de a hallado, encontrar todas las raíces de $f$ en $\mathbb {C}$.

Ejercicio 4

Hallar todos los $a\in \mathbb {Z}$ tales que $6a^{1}3+7a^{5}+4^{132}\equiv 28\;(105)$

Ejercicio 5

Sea $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ la sucesión de polinomios definida por:

$f_{1}=(X^{2}-1)^{2},\;\;\;\;f_{n+1}=(X^{2}-1)f'_{n}-Xf_{n}\;\;\;\;\ ;(n\in \mathbb {N} )$

Probar que, para todo $n\in \mathbb {N}$, 1 es raíz doble de $f_{n}$