Final 28/12/2012 (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado $n\in \mathbb {N}$ denotamos por $G_{n}$ al conjunto de las raíces n-ésimas de la unidad. Probar que si p y q son primos distintos positivos, la suma de las raíces primitivas de $G_{pq}$ es 1.

Ejercicio 2

Sea $F(x)\in Z[x]$ un polinomio tal que al evaluarlo en cualquier numero entero a, $f(a)$ resulta siempre un múltiplo de 101 o un múltiplo de 107 (ambos son primos). Probar entonces que o bien $f(x)$ es siempre divisible por 101 para todos los valores de a, o bien $f(a)$ es divisible por 107 para todos los valores de a.

Ejercicio 3

Dado un número natural n, determinar el resto de dividir por 5 a $n^{n}$ en términos de una congruencia adecuada para n.

Ejercicio 4

Decir si una relación en un conjunto A puede ser:

(a) simétrica, antisimétrica y transitiva.

(b) simétrica, antisimétrica, y no transitiva

(c) simétrica, no antisimétrica y transitiva

(d) simétrica, no antisimétrica y no transitiva

(e) no simétrica, antisimétrica y transitiva

(f) no simétrica, antisimétrica y no transitiva

(g) no simétrica, no antisimétrica y transitiva

(h) no simétrica, no antisimétrica y no transitiva.

Ejercicio 5

Hallar todos los $a\in \mathbb {C}$ para los cuales al menos una de las raíces de $f=x^{6}+x^{5}-3x^{4}+2x^{3}+x^{2}-3x+a$ sea una raíz sexta primitiva de la unidad. Para cada valor de a hallado, factorizar en Q, R y C[x].