Final del 12/02/10 (Algoritmos III)

Ejercicio 1

a) Si el camino entre i y j tiene más de un camino mínimo ¿Cual elige Floyd?.

b) Adaptarlo para que calcule los caminos mas cortos tal que no pasen por un conjunto de nodos dado.

Ejercicio 2

G=(V,X) es Hamiltoniano entonces para todo $S\in V,S\neq \emptyset$

$W(G-S)\leq |S|$ (W(G) es la cantidad de componentes conexas de G)

a) Dar un ejemplo de que el teorema no es una condición suficiente para asegurar que el grafo es hamiltoniano.

b) Mostrar, usando el teorema, que el grafo de la figura no es hamiltoniano.

Archivo:Grafo.png

Grafo ej. 2

Ejercicio 3

Un grafo G es coloreable en forma única si todo coloreo induce la misma partición de los vértices. Probar que si G es coloreable de forma única entonces el subgrafo inducido por dos conjuntos cualesquiera de la partición es conexo.

Ejercicio 4

Dado un flujo máximo que puede circular por una red donde $C_{e}$ es la capacidad máxima de la arista e y $F_{e}$ es el valor del flujo del arco e, decimos que el arco es vital máximo si al eliminarlo de la red se produce el máximo decrecimiento del valor del flujo (obtenido eliminando un solo arco). Decir si es V o F y justificar.

a) Un arco vital máximo es un arco e que tiene valor maximo de $C_{e}$.

b) Un arco vital máximo es un arco e que tiene valor maximo de $F_{e}$.

c) Un arco vital máximo es un arco e que tiene valor maximo de $F_{e}$ entre los que pertenecen a un corte mínimo.

d) Un arco que no pertenece a un corte de capacidad mínima no puede ser un arco vital máximo.

e) Una red puede contener varios arcos vitales maximos.

Ejercicio 5

a) ¿Qué se puede decir de $\Pi _{1}$ sabiendo que existe una reducción polinomial de $\Pi _{1}$ a $\Pi _{2}$ y que $\Pi _{2}\in P$?

b) ¿Qué se puede decir de $\Pi _{1}$ sabiendo que existe una reducción polinomial de $\Pi _{1}$ a $\Pi _{2}$ y que $\Pi _{2}\in NP$ ?

c) ¿Qué se puede decir de $\Pi _{1}$ sabiendo que existe una reducción polinomial de $\Pi _{1}$ a $\Pi _{2}$ y que $\Pi _{2}\in NP-Completo$ ?

d) ¿Qué se puede decir de $\Pi _{2}$ sabiendo que existe una reducción polinomial de $\Pi _{1}$ a $\Pi _{2}$ y que $\Pi _{1}\in NP-Completo$ ?

e) ¿Qué se puede decir de $\Pi _{2}$ sabiendo que existe una reducción polinomial de $\Pi _{1}$ a $\Pi _{2}$ y que $\Pi _{1}\in NP-Completo$ y $\Pi _{2}\in NP$?