Parcial del 07/07/16 (Recuperatorio)

Recuperatorio 1º parcial de Álgebra, 1º cuatrimestre 2016, tema único

1. Sea $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ definida por

$f(n)=\left\{{\begin{array}{ll}2n&{\mbox{si }}n{\mbox{ es par}}\\{\frac {n+1}{2}}&{\mbox{si }}n{\mbox{ es impar}}\end{array}}\right.$

a) Determinar si $f$ es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.

b) ¿Es posible definir una función $g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tal que $f\circ g$ sea biyectiva?

c) ¿Es posible definir una función $g:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tal que $g\circ f$ sea biyectiva?

2. Probar que $\sum _{i=2}^{n}{\frac {1}{i^{3}}}\leq {\frac {3}{8}}-{\frac {1}{n^{2}}}$ para todo $n\geq 2$

3.

a) ¿Cuántos anagramas de la palabra CONGRUENCIA hay?

b) ¿Cuántos hay si además se pide que todas las vocales estén entre las dos N? [Nota: durante el parcial se aclaró que no necesariamente solo las vocales están entre las dos N, también puede haber consonantes.]

4. Sea $F_{0}=0$ , $F_{1}=1$ y $F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$ la sucesión de Fibonacci.

a) Probar que $F_{n+8}+F_{n}\equiv 0\ (7)$ para todo $n\in \mathbb {N} _{0}$ .

b) Deducir que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos múltiplos de 7.

5. Sean $a$ y $b$ números enteros tales que el resto de la división de $a$ por $b$ es 13 y el resto de la división de $b$ por 45 es 10. Determinar los posibles valores de $(a^{2}-6a-1:b)$ . Para cada valor $d$ hallado, exhibir una pareja $(a,b)$ que cumpla todas las condiciones anteriores y además $(a^{2}-6a-1:b)=d$ .