Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO

Ejercicio 2

Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; B=\left\{1,2,\left\{3\right\}, -3\right\}} . NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2,0,-1,-2 \right\}; B=\left\{x \in \Re / |x+3| \leq 1 \right\}} . NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; =\left\{1,2,3,4,5\right\}} ESTÁ INCLUÍDO
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{\emptyset \right\}; B=\emptyset } . NO ESTÁ INCLUÍDO
v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{x \in \Re / 2 \leq |x| \leq 3 \right\} ; B = \left\{ x \in \Re / x^2 < 3 \right\} } . NO ESTÁ INCLUÍDO.

Ejercicio 3

Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap B = \left\{3,7,11 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup B = \left\{-8,-5,-1,1,3,5,7,8,11 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A - B = \left\{1,5,8 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B - A = \left\{-1,-5,-8 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \triangle B = \left\{-8,-5,-1,1,5,8 \right\} }

Ejercicio 4

Dado el conjunto referencial Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \left\{ n \in N | n\;es\;multiplo\;de\;15 \right\}} hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{ n \in N | n \geq 132 \right\}}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A' = \left\{ 15,30,45,60,75,90,105,120 \right\} }

Ejercicio 5

Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap ( B \triangle C )= \left\{ 1,-2,3 \right\} }
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \triangle B ) - C = \left\{ 7, \left\{3 \right\} , 10 \right\} }
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A - B) \cap C = \left\{ -2, 3 \right\} }
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cup B' ) \cap C = \left\{ -2, \left\{1,2,3 \right\} , 3 \right\} }
v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A' \cap B' \cap C' = \emptyset }
vi) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A - B' ) \triangle C = \left\{ 1, -2, \left\{ 1, 2, 3 \right\} , 3 \right\} }

Ejercicio 6

En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?

i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8

Ejercicio 8

Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cap (B' \cup C' ) ) \cup ( (B \cap C) \cap A' ) }
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( ( A \cap C' ) \cup ( C \cap A')) \cap B' }
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)) \cap (A \cap B \cap C)' }
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ((( A \cap B') \cup (B \cap A')) \cap C' ) \cup ( C \cap ( (A' \cup B) \cap ( B' \cup A)) }

Ejercicio 9

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup (B \cap C ) = ( A \cup B) \cap C }

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {1, 3, 4}

ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \cup B)' = A' \cap B' }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \wedge x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') }

iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B ) \Rightarrow }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C )\; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee \; }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) }

Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C )\; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \; \vee }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \; ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) }

Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1) ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C) \; \vee \; (x \notin A \wedge x \in B \wedge x \in C) \; \vee }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \;( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) }

y:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2) ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \; \vee }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \;( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) }

Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \notin B \wedge ( ( x \in A \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in C))) \; \vee }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \; ( x \in B \wedge (( x \notin A \wedge x \in C) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin C))) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \notin B \wedge x \in ( A \triangle C)) \; \vee \; ( x \in B \wedge ( x \in ( A \triangle C)) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in ( A \triangle C) \wedge ( x \in B \vee x \notin B) \Rightarrow }
Por tautología:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in ( A \triangle C) }

Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \triangle C) } y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \triangle C) \; \vee \; x \in ( A \triangle C) \Rightarrow x \in (A \triangle C ) \cup ( B \triangle C) }

iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B) \cup ( A \cap C)}

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \cup C) \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( x \in B \vee x \in C )}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B ) \; \vee \; x \in ( A \cap C ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) }

v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C \subseteq A \Rightarrow ( B \cap C ) \subseteq (A \triangle B)' }

VERDADERO. Demostración:

Sabemos por hipótesis que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C \subseteq A } , es decir, que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in C \Rightarrow x \in A }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \cap C ) \Longleftrightarrow x \in B \wedge x \in C \Rightarrow x \in B \wedge x \in A \Rightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow ( x \in B \wedge x \in A) \; \vee \; ( x \notin B \wedge x \notin A ) \Rightarrow x \in ( B \cap A ) \; \vee \; x \in ( A \cup B )' }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow x \in ( ( A \cup B) - (B \cap A) )' \Rightarrow x \in ( B \triangle A)' }

vi) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \triangle B = \emptyset \Longleftrightarrow A = B }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( B - A ) ) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A - B) \cup ( B - A) = \emptyset \Longleftrightarrow A - B = \emptyset \; \wedge \; B - A = \emptyset }

• Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A - B = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow A \subseteq B }
  
• Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B - A = \emptyset \Longleftrightarrow \not\exists x \; / \; x \in B \wedge x \notin A \Longleftrightarrow B \subseteq A }
  

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \subseteq B \; \wedge \; B \subseteq A \Longleftrightarrow A = B }

vii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \triangle B ) - C ) = ( A - C ) \triangle ( B - C ) }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( ( A \triangle B ) - C ) \Longleftrightarrow x \in ( A \triangle B ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( ( x \in A \wedge x \notin B ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B ) ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \Longleftrightarrow }

Uniendo conjuntos vacíos:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \wedge x \notin C \wedge x \in C ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin C \wedge x \notin B) \; \vee \; }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vee \; ( ( x \notin A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in C \wedge x \in B \wedge x \notin C ) ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( ( x \in A \wedge x \notin C ) \wedge ( x \notin B \vee x \in C ) ) \; \vee \; ( ( x \notin A \vee x \in C ) \wedge ( x \in B \wedge x \notin C ) ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in ( A - C ) \wedge x \in ( B - C )' ) \; \vee \; ( x \in ( A - C ) ' \wedge x \in ( B - C ) ) \Longleftrightarrow } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in ( ( A - C ) \triangle ( B - C ) ) }

viii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \triangle \emptyset = A }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \triangle \emptyset ) \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin \emptyset) \; \vee \; ( x \notin A \wedge x \in \emptyset ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin \emptyset \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in A }

Ejercicio 10

Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C)}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \; \cup \; ( B \; \cap \; C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \; \vee \; x \in ( B \; \cap \; C ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in A \; \vee \; ( x \in B \; \wedge \; x \in C ) \Longleftrightarrow ( x \in A \; \vee \; x \in B ) \; \wedge \; ( x \in A \; \vee \; x \in C ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in ( ( A \; \cup \; B ) \; \cap \; ( A \; \cup \; C ) ) }

ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \cap B)' = A' \cup B' }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cap B)' \Longleftrightarrow x \notin ( A \cap B) \Longleftrightarrow x\notin A \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in ( A' \cup B' ) }

iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap ( B \triangle C ) = ( A \cap B ) \triangle ( A \cap C ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \triangle C ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( ( x \in B \wedge x \notin C) \; \vee \; ( x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin ( A \cap C ) ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \notin ( A \cap B ) \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow( x \in ( A \cap B) \wedge x \in ( A \cap C )') \; \vee ( x \in (A \cap C) \wedge x \in ( A \cap B)' )}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in (A \cap B ) \triangle ( A \cap C) }

iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A - ( B - C ) = ( A - B ) \cup ( A \cap C ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A - ( B - C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( x \notin B \vee x \in C) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \notin B ) \; \vee \; ( x \in A \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow x \in ( B - C ) \; \vee \; x \in ( A \cap C ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in ( ( A - B ) \cup ( A \cap C ) ) }

v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A - ( A \triangle B ) = ( A \cap B ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A - ( A \triangle B ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin ( A \cup B ) \wedge x \in ( A \cap B ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in (A \cap B) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) }

vi) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cap C ) - B = ( A - B) \cap C }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( ( A \cap C ) - B) \Longleftrightarrow x \in ( A \cap C) \wedge x \notin B \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in (A - B) \wedge x \in C \Longleftrightarrow x \in ( ( A -B) \cap C ) }

vii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A \triangle B = B \cap A' }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow x \in (A - B) \; \vee \; x \in ( B - A ) } Pero como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \subseteq B \Rightarrow A - B = \emptyset }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A - B) \vee x \in ( B - A) \Longleftrightarrow x \in \emptyset \vee x \in ( B - A ) \Longleftrightarrow x \in ( B \cap A' ) }

viii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \subseteq B \Longleftrightarrow B' \subseteq A' }

Sabemos que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p \Rightarrow q } implica Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \neg q \Rightarrow \neg p }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \subseteq B \Longleftrightarrow ( x \in A \Rightarrow x \in B ) \Longleftrightarrow (x \notin B \Rightarrow x \notin A) \Longleftrightarrow B' \subseteq A' }

ix) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C \subseteq A \Rightarrow ( A \cup B ) \cap C' = ( B - C) \cup ( A \triangle C) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cup B) \cap C' \Longleftrightarrow ( x \in A \vee x \in B ) \wedge x \notin C \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C)} como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C \subseteq A \Rightarrow C - A = \emptyset } . Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C) \Longleftrightarrow } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow (x \in A \wedge x \notin C) \vee ( x \notin A \wedge x \in C) \vee ( x \in B \wedge x \notin C) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A - C) \vee x \in ( C - A) \vee ( B - C ) \Longleftrightarrow x \in ( ( A \triangle ) \cup ( B - C ) ) }

ix) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap C = \emptyset \Rightarrow A \cap ( B \triangle C) = A \cap B }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cap ( B \triangle C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \wedge x \in ( B \triangle C) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in A \wedge ( ( x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \notin B \wedge x \wedge x \in C) ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) }

Como Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \not\exists x / x \in A \wedge x \in C \Rightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \vee ( x \in A \wedge x \notin B \wedge x \in C ) \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in A \wedge x \in B \wedge x \notin C) \; con \; A \cap C = \emptyset \Longleftrightarrow x \in A \; \wedge \; x \in B \Longleftrightarrow }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in (A \cap B) }

Ejercicio 11

Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \emptyset}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(A)= \left \{ \emptyset \right \} }

ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left \{ 1 \right \} }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ 1 \right \} \right \} }

iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left \{ a, b \right \} }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} , \left \{ b \right \} \right \} }

iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left \{ 1, a, \left \{ -1 \right \} \right \} } Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ 1 \right \}, \left \{ a \right \}, \left \{ \left \{ -1 \right \} \right \}, \left \{ 1 , a \right \}, \left \{ a, \left \{ -1 \right \} \right \}, \left \{ a, \left \{ -1 \right \} \right \}, \left \{ 1, a, \left \{ -1 \right \} \right \} \right \} }

v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left \{ 1, \left \{ 1 , 2 \right \} \right \} \;\;\;\; P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{ 1 \right \} , \left \{ \left \{ 1, 2 \right \} \right \}, \left \{ 1 , \left \{ 1, 2 \right \} \right \} \right \} }

vi) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A= \left \{ 1, 3, 5, \emptyset \right \}} Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P(A)= \left \{ \emptyset , \left \{1 \right \} , \left \{ 3 \right \} , \left \{ 5 \right \} , \left \{ \emptyset \right \} , \left \{ 1 , 3 \right \} , \left \{ 3, 5 \right \} , \left \{ 5 , \emptyset \right \} , \left \{ 1 , \emptyset \right \}, \left \{ 1, 5 \right \} , \left \{ 3, \emptyset \right \} , \left \{ 1 , 3 ,5 \right \} , \left \{ 1 , 3 , \emptyset \right \} , \left \{ 1 , 5 , \emptyset \right \}, \left \{ 3, 5, \emptyset \right \} , \left \{ 1, 3, 5, \emptyset \right \} \right \} }