Práctica 1 (Investigación Operativa)

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Ejercicio 1.1

Un fabricante de equipos de pruebas tiene 3 departamentos principales para la manufactura de sus modelos M1 y M2. Las capacidades manuales son las siguientes:

Requerimiento en horas Horas disponibles por mes
M1 M2
Estructura principal 4 2 1600
Alambrado Eléctrico 2.5 1 1200
Ensamblado 4.5 1.5 1600
Beneficio Unitario $40 $10

Formular un modelo para planificar la producción óptima.

Variables:

x1 = unidades a fabricar del modelo M1

x2 = unidades a fabricar del modelo M2 

Max 40x1 + 10x2 
s.t. 
     4x1 + 2x2 <= 1600
     2.5x1 + x2 <= 1200
     4.5x1 + 1.5x2 <= 1600
     x1,x2 >= 0

Ejercicio 1.2

Una empresa produce listones de madera en 4 medidas: chico, mediano, grande y extragrande. Estos listones pueden producirse en tres máquinas: A, B y C. La cantidad de metros que puede producir por hora cada máquina es:

A B C
chico 300 600 800
mediano 250 400 700
grande 200 350 600
extra grande 100 200 300

Voy a abusar un poco de notación para que la respuesta quede más compacta.

Variables:

x(J,K) = Horas de la máquina J dedicadas a producir la medida K.

x(J) = Sumatoria de horas de uso de la máquina J.

M in {A,B,C}

N in {S,M,L,XL} 

Min 30x(A) + 50x(B) + 80x(C)
s.t.
     300x(A,S) + 600x(B,S) + 800x(C,S) >= 10000
     250x(A,M) + 400x(B,M) + 700x(C,M) >= 8000
     200x(A,L) + 350x(B,L) + 600x(C,L) >= 6000
     100x(A,XL) + 200x(B,XL) + 300x(C,XL) >= 4000
     x(J) <= 50
     x(J,K) >= 0

Ejercicio 1.6

Sunco procesa petróleo para producir combustible para aviones y aceite de máquina. Cuesta $40 comprar 1000 barriles de petróleo, que luego destilados producen 500 barriles de combustible para aviones y 500 barriles de aceite. Lo que se obtiene de la destilación puede ser vendido directamente o ser procesado nuevamente con un fraccionador catalítico. Si se vende sin el segundo proceso, el combustible para aviones se vende a $60 por 1000 barriles y el aceite para calentar se vende a $40 por 1000 barriles. Lleva 1 hora procesar 1000 barriles ded combustible para aviones en el fraccionador catalítico, y esos 1000 barriles se venden a $130. El mismo proceso demora 45 minutos para 1000 barriles de aceite para calentar, y esos 1000 barriles se venden a $90. Cada día, se pueden comprar a lo sumo 20000 barriles de petróleo, y se tienen disponibles 8 horas del fraccionador catalítico. Formular un LP que maximice los beneficios de Sunco.

Variables:

x(A,1) = miles de barriles de aceite de avión vendidos sin pasar por el fraccionador catalítico.

x(A, 2) = miles de barriles de aceite de avión vendidos tras pasar por el fraccionador catalítico.

x(C,1) = miles de barriles de aceite para calentar vendidos sin pasar por el fraccionador catalítico.

x(C, 2) = miles de barriles de aceite para calentar vendidos tras pasar por el fraccionador catalítico.

En todos los casos tomo "vendidos" = "producidos". 

Max 20x(A,1) + 0x(C,1) + 90x(A,2) + 50x(C,2)
s.t.
     x(A,1) + x(A,2) <= 10
     x(C,1) + x(C,2) <= 10
     x(A,1) + x(A,2) - x(C,1) - x(C,2) = 0
     x(A,2) + 0,75x(C,2) <= 8
     x(J, i) >= 0

Ejercicio 1.7

Walnut Orchard tiene dos granjas con trigo y maíz. Como consecuencia de las distintas condiciones del suelo, hay diferencias entre la cosecha y los costos de producir trigo y maíz en las dos granjas. La cosecha y los costos son los que se muestran en la tabla. Cada granja cuenta con 100 acres disponibles para el cultivo; deben plantarse 11000 toneladas de trigo y 7000 toneladas de maíz. Determinar un plan de cultivo que minimice el costo por satisfacer las demandas.

Granja 1 Granja 2
Producción de trigo por acre 500 toneladas 650 toneladas
Costo del trigo por acre $100 $120
Producción de maíz por acre 400 toneladas 350 toneladas
Costo de maíz por acre $90 $80

Variables:

x(T, 1) = acres de trigo en la granja 1

x(T, 2) = acres de trigo en la granja 2

x(M, 1) = acres de maíz en la granja 1

x(M, 2) = acres de maíz en la granja 2 

Min 100x(T,1) + 90x(M,1) + 120x(T,2) + 80(M,2)
s.t.
     x(T,1) + x(M,1) <= 100
     x(T,2) + x(M,2) <= 100
     500x(T,1) + 650x(T,2) >= 11000
     400x(M,1) + 350x(M,2) >= 7000
     x(J,I) >= 0

Ejercicio 1.8

Carco cuenta con un presupuesto de $150000 para publicidad. Para aumentar la venta de automóviles, la firma está considerando incorporar publicidad en un periódico y en la televisión. Cuanto más publicita Carco en un medio, menos efectiva es cada publicidad adicional. La tabla muestra la cantidad de nuevos clientes que proporciona cada nuevo aviso publicitario. Cada publicidad en el periódico cuesta $1000, y cada publicidad en televisión cuesta $10000. A lo sumo se pueden publicar 30 avisos en el periódico y 15 avisos en la televisión. Cómo puede Carco maximizar el número de clientes por medio de la publicidad?

Número de avisos Número de clientes
Periódico 1 a 10 900
11 a 20 600
21 a 30 300
Televisión 1 a 5 10000
6 a 10 5000
11 a 15 2000

Variables:

x(P,i) = avisos en el periódico en la decena i

x(T,i) = avisos en la televisión particionados de a 5 

Max 900x(P,1) + 600x(P,2) + 300x(P,3) + 10000x(T,1) + 5000x(T,2) + 2000x(T,3)
s.t.
      0 <= x(P,i) <= 10
      0 <= x(T,i) <= 5
      1000(x(P,1) + x(P,2) + x(P,3)) + 10000(x(T,1) + x(T,2) + x(T,3)) <= 150000
      x(P,1) + x(P,2) + x(P,3) <= 30
      x(T,1) + x(T,2) + x(T,3) <= 15

Ejercicio 1.12

El Banco Nacional de la ciudad de Gotham abre de lunes a viernes de 9 am a 5 pm. Por la experiencia previa el Banco sabe que necesita el número de cajeros que se muestra en la tabla. El Banco contrata a dos tipos de cajeros. Los cajeros full-time trabajan 9 horas por día, excepto 1 hora que tienen para almorzar. (El Banco determina cuándo un empleado full-time toma su hora para el almuerzo, pero debe ser entre las 12 pm y la 1 pm, o entre la 1 pm y las 2pm). Los empleados full-time cobran $8 por hora (incluyendo la hora de almuerzo).

El Banco también puede contratar empleados part-time, quienes trabajan 3 horas consecutivas por día. Un cajero part-time cobra $5 por hora. Para mantener la calidad del servicio, el Banco decide no contratar más de 5 cajeros part-time. Formular un LP que satisfaga los requerimientos del Banco a mínimo costo. Resolver el LP en la computadora. Experimentar con la solución del LP para determinar una política de empleos próxima a minimizar los costos laborales.

Período de tiempo Cajeros requeridos
9 am a 10 am 4
10 am a 11 am 3
11 am a 12 am 4
12 am a 1 pm 6
1 pm a 2 pm 5
2 pm a 3 pm 6
3 pm a 4 pm 8
4 pm a 5 pm 8

Variables:

xf12 = cantidad de empleados full-time que toman el almuerzo a las 12

xf13 = cantidad de empleados full-time que toman el almuerzo a las 13

xpi = cantidad de empleados part-time que empiezan a la hora i (9 <= i <= 14) 

Min 72(xf12 + xf13) + 15(xp9 + xp10 + xp11 + xp12+ xp13 + xp14)
s.t.
     xf12 + xf13 + xp9 >= 4
     xf12 + xf13 + xp9 + xp10 >= 3
     xf12 + xf13 + xp9 + xp10 + xp11 >= 4
     xf13 + xp10 + xp11 + xp12 >= 6
     xf12 + xp11 + xp12 + xp13 >= 5
     xf12 + xf13 + xp12 + xp13 + xp14 >= 6
     xf12 + xf13 + xp13 + xp14 >= 8
     xf12 + xf13 + xp14 >= 8
     xp9 + xp10 + xp11 + xp12 + xp13 + xp14 <= 5
     xf12, xf13, xpi >= 0

Ejercicio 1.14

Alexis Comby trabaja en la compra-venta de maíz. El primero de enero, tiene 50 toneladas de maíz y $1000. El primer día de cada mes, Alexis puede comprar maíz a los siguientes precios por tonelada: enero, $300; febrero, $350; marzo, $400; abril, $500. En el último día de cada mes Alexis puede vender maíz a los siguientes precios por toneladda: enero, $250; febrero, $400; marzo, $350; abril, $550. Alexis guarda el maíz en un depósito que puede almacenar a lo sumo 100 toneladas de maíz. Los pagos que hace Alexis por sus compras deben ser en efectivo. Usar programación lineal para determinar cómo puede maximizar su efectivo al finalizar abril.

Se agradecerán soluciones más elegantes!

Variables:

x(C,i) = toneladas que compra en el mes i

x(V,i) = toneladas que vende en el mes i

v(C,i) = valor de compra de maíz en el mes i

v(V,i) = valor de venta de maíz en el mes i 

Max sum(  v(V,i)x(V,i) - v(C,i)x(C,i) ), 1 <= i <= 4
s.t.
      x(C,1) <= 10/3
      x(V,1) - x(C,1) <= 50
      x(C,1) + x(C,2) - x(V,1) <= 50
      300x(C,1) + 350x(C,2) - 250x(V,1) <= 1000
      x(V,1) + x(V,2) - x(C,1) - x(C,2) <= 50
      x(C,1) + x(C,2) + x(C,3) - x(V,1) - x(V,2) <= 50
      300x(C,1) + 350x(C,2) + 400x(C,3) - 250x(V,1) - 400x(V,2) <= 1000
      x(V,1) + x(V,2) + x(V,3) - x(C,1) - x(C,2) - x(C,3) <= 50
      x(C,1) + x(C,2) + x(C,3) + x(C,4) - x(V,1) - x(V,2) - x(V,3) <= 50
      300x(C,1) + 350x(C,2) + 400x(C,3) - 250x(V,1) - 400x(V,2) - 350x(V,3) <= 1000
      x(V,1) + x(V,2) + x(V,3) + x(V,4) - x(C,1) - x(C,2) - x(C,3) - x(V,4) <= 50
      x(V,i), x(C,i) >= 0
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