Práctica 6: Árboles del Cálculo de Predicados (Lógica y Computabilidad)

Ejercicio 01

¬((∀x∃y(P(x, y) -> P(y, x))) -> (∀x∀y(P(x, y -> ∃zP(z, x)))))
∀x∃y(P(x, y) -> P(y, x))
¬∀x∀y(P(x, y -> ∃zP(z, x)))
∃x∃y¬(P(x, y) -> ∃zP(z, x))
∃y¬(P(a1, y) -> ∃zP(z, a1))
¬(P(a1, a2) -> ∃zP(z, a1))
P(a1, a2)
¬∃P(z, a1)
∀z¬P(z, a1)
∃y(P(a1, y) -> P(y, a1))
P(a1, a3) -> P(a3, a1)
¬P(a1, a3) P(a3, a1)
¬P(a3, a1)
×
¬((∀x∃y(P(x, y) -> P(y, x))) -> (∀x∀y(P(x, y -> ∃zP(z, x)))))
∀x∀y(P(x, y -> ∃zP(z, x)))
¬∀x∃y(P(x, y) -> P(y, x))
∃x∀y(P(x, y) -> P(y, x))
∀y(P(a1, y) -> P(y, a1))
∀y(P(a1, y) -> ∃zP(z, a1))
P(a1, a2) -> ∃zP(z, a1)
¬P(a1, a2)
P(a1, a2) -> P(a2, a1)
¬P(a1, a2) P(a2, a1)
∃zP(z, a1)
P(a3, a1)
P(a1, a3) -> P(a3, a1)
¬P(a1, a3) P(a3, a1)

Ejercicio 02

Salen todos bastante fácil usando árboles.

Ejercicio 03

Lo que nos piden ver es que si ⊨φ entonces ⊨(∀x)φ (la ida de la clausura universal). Esto es lo mismo que ver que ⊨(φ→(∀x)φ). Luego, si logramos probar que ¬(φ→(∀x)φ) es insatisfacible, habremos demostrado lo que nos piden.

Hagámoslo mediante el siguiente árbol de refutación:

¬(φ→(∀x)φ)
φ
¬(∀x)φ
¬φ[x/c]		donde c es una constante.
¬φ		¬φ[x/c] ≡ φ, pues φ es un enunciado universalmente válido.
×

Como el árbol es cerrado, la negación de lo que queríamos demostrar es insatisfacible y por lo tanto queda demostrado lo que se pedía.

Ejercicio 04

Si prestamos atención, en realidad nos están pidiendo demostrar que ψ es consecuencia de φ y (φ→ψ). Es decir, la preservación de la validez del modus ponens en lógica de primer orden.

Hay un corolario que dice:
Sean β, α₁, ..., α_k enunciados, entonces {α₁, ..., α_k} ⊨ β si y sólo si el enunciado α₁ ∧ ... ∧ α_k ∧ ¬β origina un árbol de refutación cerrado.

Entonces procedemos a construir un árbol de refutación de φ ∧ (φ→ψ) ∧ ¬ψ:

( (φ ∧ (φ→ψ)) ∧ ¬ψ )
(φ ∧ (φ→ψ))
¬ψ
φ
(φ→ψ)
¬φ	ψ
×	×

Luego como el árbol es cerrado, la relación de consecuencia se cumple y queda demostrado lo que nos piden.

Ejercicio 06

1. (∀x∃yP(x, y)) ^ ¬(∃y∀xP(x, y))
∀x∃yP(x, y)
¬∃y∀xP(x, y)
∃yP(a, y)
P(a, b)
¬∀xP(x, b)
¬P(c, b)
Contraejemplo: I =< {a, b}, {(a, b), (b, a)} >

2. (∃y∀xP(x, y)) ^ ¬(∀x∃yP(x, y))
∃y∀xP(x, y)
¬∀x∃yP(x, y)
∀xP(x, a)
¬∃yP(b, y)
P(b, a)
¬P(b, a)
×

Ejercicio 09

1. (α1 ^ α2 ^ α3) ^ ¬α4 = ∀x∀y∀z((P(x, y) ^ P(y, z)) ->
P(x, z))
∀x∀y(P(x, y) -> P(y, x))
∀x∃yP(x, y)
¬∀xP(x, x)
¬P(a, a)
∃yP(a, y)
P(a, b)
∀y(P(a, y) -> P(y, a))
P(a, b) -> P(b, a)
∀y∀z((P(a, y) ^ P(y, z)) -> P(a, z))
∀z((P(a, b) ^ P(b, z)) -> P(a, z))
(P(a, b) ^ P(b, a)) -> P(a, a)
¬(P(a, b) ^ P(b, a)) P(a, a)
¬P(a, b) ¬P(b, a) ×
× ¬P(a, b) P(b, a)
× ×

2. (α1 ^ α3) ^ ¬α4 = ∀x∀y∀z((P(x, y) ^ P(y, z)) -> P(x, z))
∀x∃yP(x, y)
¬∀xP(x, x)
¬P(a, a)
∃yP(a, y)
P(a, b)
∀y∀z((P(a, y) ^ P(y, z)) -> P(a, z))
∀z((P(a, b) ^ P(b, z)) -> P(a, z))
(P(a, b) ^ P(b, a)) -> P(a, a)
¬(P(a, b) ^ P(b, a)) P(a, a)
¬P(a, b) ¬P(b, a) ×
×
Contraejemplos:
a) {N,<}
b) < {a, b}, {(a, b), (b, b)} >