Práctica 8 (Métodos Numéricos)

Ejercicio 1

¿Cuál es el punto del plano x + y − z = 0 más cercano al punto (2, 1, 0)? Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S = \{ x + y - z = 0 \}} . El vector normal al plano es (1, 1, -1).
Entonces buscamos un Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t= (2, 1, 0) + \lambda (1, 1, -1) = (2 + \lambda, 1 + \lambda, -\lambda) } que pertenezca a S. Como (1, 1, -1) es la normal del plano se debe cumplir que el producto interno entre éste y t sea 0. Entonces t está en S Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 2 + \lambda + 1 + \lambda - (-\lambda) = 0 }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow 3 + 3 \lambda = 0}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \lambda = -1} .

Entonces el punto más cercano es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = (2, 1, 0) + (-1) (1, 1, -1) = (1, 0, 1)}

Ejercicio 2

Sean Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a, b \in \mathbb{R}^n} fijos. ¿Qué número real t hace que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || a-t*b\||_2} sea mínimo
Minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || a-t*b||} es lo mismo que minimizar Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle || a-t*b||^2} pues la raíz es monótona y creciente. Llamemos a esta funcion Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t)} y minimizemosla:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(t) = ||a - t * b|| ^ 2 = \sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2 }
Para hallar el minimo de esta funcion, la derivamos y buscamos donde es igual a 0. Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f'(x) = \left(\sum_{i = 0}^{n} (a_i - t b_i)^2\right)' }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i (a_i - t b_i) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - t -2 b_i^2 = 0}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i - \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 = 0}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} -2 b_i a_i = \sum_{i = 0}^{n} t -2 b_i^2 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \sum_{i = 0}^{n} b_i a_i = t \sum_{i = 0}^{n} b_i^2 }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow \frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2} = t }

Para poder afirmar que es mínimo, en realidad falta calcular Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f''(\frac{\sum_{i = 0}^{n} b_i a_i}{\sum_{i = 0}^{n} b_i^2})} y ver que es mayor a 0, pero 0 ganas...

Ejercicio 3

Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \in \mathbb{R}^{nxm}} . Se define el espacio columna de A como el subespacio de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} generado por las columnas de A y el espacio fila de A como el subespacio de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} generado por las filas de A.

Ejercicio 3. a

Probar que el espacio columna de A es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v \in Im(A) \Longleftrightarrow \exists w / Aw = x} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x_i = \sum_{j = 1}^{n}A_{ij} wj} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x = \sum_{j = 1}^{n}wj A_{*j}} . Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow x \in espacio \ columnas \ de \ A} .

Ejercicio 3. b

Probar que el espacio fila de A es Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} .
La idea es que alguien pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(a)} solamente si dicho vector da 0 contra todas las filas de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Por lo tanto es ortogonal a una base del espacio filas de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , por lo que pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} . La vuelta es si pertenece a Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Nu(A)^{\bot}} , entonces va a dar 0 contra todas las filas de A.

Ejercicio 3. c

Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)^{\bot} = Nu(A^t)} .
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Im(A)} es el espacio columna de A. Que es el espacio fila de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A^t} . Y el espacio fila de una matriz es ortogonal a su nucleo por lo que probamos antesError al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Box} .

Ejercicio 4

Sean u y v vectores ortogonales en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{R}} entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \|_2^2 = \| u \|_2^2 + \| u \|_2^2 } (Teorema de Pitágoras).
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u + v) \times (u + v)}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = u \times (u + v) + v \times (u + v) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle = (u \times u) + (u \times v) + (v \times u) + (v \times v) } .
Como u y v son ortogonales, entonces Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (v \times u) = 0} y luego: Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \| u + v \| _2^2 = (u \times u) + (v \times v) = \| u \| _2 + \| u \| _2}

Ejercicio 5

Demostrar que si P es una proyección ortogonal sobre el subespacio Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S \in \mathbb{R}^n} , entonces para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in \mathbb{R}^n, (I - P)x \in S^{\bot}} .
NOTA: Si alguien me dice que es una proyección ortogonal (la definicion de una), intento hacerlo...

Ver

http://mathworld.wolfram.com/ProjectionMatrix.html

o

http://planetmath.org/encyclopedia/Projection.html

Ejercicio 9

Supongamos que Ax = y. Probar que un vector Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat x \in \mathbb{R}^m} satisface Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A\hat x = y} si y sólo si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x - \hat x \in Nu(A)} .Demostar que el problema de cuadrados mínimos tiene solución única si y sólo si Nu(A) = {0}.

Ida) Sea Ax = b con solución unica. Supongamos que $Nu(A)\neq \lbrace 0\rbrace$. Sea $z\neq 0,z\in Nu(A)$, entonces $Az=0\Leftrightarrow Ax+Az=b\Leftrightarrow A(x+z)=b\Leftrightarrow x+z\neq x$ es otra solución del sistema. Absurdo!

Vuelta) Sea Nu(a) = {0}. Supongamos que existen y e x, $y\neq x$, soluciones del sistema Ax=b. Entonces $Ay-Az=b-b=0\Leftrightarrow A(y-z)=0$. Pero$y-z\neq 0$ y Nu(a) = {0}. Absurdo!

Ejercicio viejo

La función $f(x)=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\|Ax-b\|$es una función diferenciable de n variables, que tiene un mínimo (absoluto) sólo si $\nabla f=({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},...,{\frac {\partial f}{\partial x_{m}}})^{t}=0$. Calcular $\nabla f$ y demostrar que $\nabla f(x)=0\Longleftrightarrow si\ A^{t}Ax=A^{t}b$ (ecuaciones normales).
NOTA: Por favor, si alguien sabe hacer este ejercicio, subalo...