Primer Parcial 2do Cuatrimestre 2015 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1 (25 puntos)

El dado A tiene 4 caras rojas y 2 blancas, mientras que el dado B tiene 2 caras rojas y 4 blancas. Se tira una moneda equilibrada, si sale cara se arroja n veces el dado A y si sale ceca, se arroja n veces el dado B.

• (6 puntos) Probar que la probabilidad de que salga una cara roja en cualquier tiro es ${\frac {1}{2}}$.
• (7 puntos) Si en los dos primeros tiros salieron caras rojas, cuál es la probabilidad de que salga cara roja en alguno de los dos siguientes tiros?
• (6 puntos) Si en los n tiros salieron caras rojas, cuál es la proba de estar usando el dado A?
• (6 puntos) Son independientes los eventos "salió cara roja en el primer tiro" y "salió cara roja en el segundo tiro"? Justifique.

Ejercicio 2 (25 puntos)

Una línea aérea sabe que el 5% de las personas que hacen reservaciones, luego no viajan. Por ello, su política de ventas es reservar más pasajes que los asientos disponibles. Para el próximo vuelo se han reservado 52 pasajes pero solo entran 50 pasajeros.

• (7 puntos) Cuál es la proba de que haya un asiento disponible para cada uno de los pasajeros que se presentan con la reserva previa para tomar el vuelo?
• (6 puntos) Sea $X$ el número de pasajeros con reserva que se presentan. Calcular la esperanza de $X$.
• (6 puntos) Sea $Y$ el número de pasajeros con reserva que se presentan y no consiguen asiento. Calcular la esperanza de $Y$.
• (6 puntos) Al enterarse de esta política empresarial, un pasajero que toma ese vuelo frecuentemente, decide presentar una queja a la compañía cada vez que alguien se queda sin viajar. La compañía decide compensarlo en su tercer queja. Cuál es la proba de que sea compensado en su sexto vuelo?

Ejercicio 3 (25 puntos)

El tiempo que estudia Ramón (en $10^{2}$ horas) para rendir el exámen final de una materia cualquiera, está dado por una variable aleatoria $X$ con distribución exponencial de parámetro $\lambda =2$. Durante dichos exámenes Ramón siempre siente deseos de tomarse un descanso y salir del aula, pero no siempre tiene permiso para hacerlo. La nota de Ramón en cada examen final está dada por la variable aleatoria

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \[ Y = \begin{cases} 10 - 7 \epsilon^{-X} \text{si lo dejan salir del aula} 10 - \frac{7}{X+1} \text{si no lo dejan salir del aula} \end{cases} \] }

Ramón se presenta a rendir el final de Probabilidad y Estadística (C). La probabilidad de que lo dejen salir del aula en dicho examen es 0,3.

• (8 puntos) Dado que en el exámen le prohiben salir del aula, cuál es la proba de que saque más de 7?
• (8 puntos) Si no sabe si le van a permitir salir del aula, qué proba tiene de sacar más de 7?
• (9 puntos) Calcular la función de distribución acumulada de Y.

Ejercicio 4 (25 puntos)

Sea $X$ una variable aleatoria con densidad $U(0,1)$. Si $X=x$, se elije un número $Y$ entre $0$ y $x$. Por lo tanto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y|_{X=x} \~ U(0,x) } .

• (13 puntos) Hallar la densidad conjunta del par $(X,Y)$ y la densidad marginal $f_{y}$.
• (12 puntos) Calcular $E(Y)$, $V(Y)$, ${\text{cov}}(X,Y)$ y ${\text{cov}}(X,X+Y)$.