Primer Parcial 7/10/06 Tema 1 (Análisis II)

1. Analizar la convergencia de la siguiente integral impropia:

$\int _{0}^{+\infty }{\frac {x+2}{{\sqrt {x}}{\sqrt[{3}]{x+x^{5}}}}}dx$

2. Sea $G(x)$ la función definida por:

$G(x)=\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {n-sin(n)}{n^{3}-2n}}(x+1)^{3n+1}$

Hallar el dominio de definición de $G(x)$.

3. Sea $f:\Re \rightarrow \Re$ la función:

$f(x)={\frac {1-cos((x-1)^{3})}{2(x-1)^{5}}},x\neq 1$

$f(x)=1,x=1$

(a) Obtener la serie de Taylor de $f$ centrada en $x_{0}=1$ y encontrar su radio de convergencia.
(b) Calcular $\int _{1}^{2}f(x)dx$ con error menor que ${\frac {1}{10^{4}}}$.

4. Sea $f:\Re \rightarrow \Re$ la siguiente función:

$f(x,y)={\frac {3x^{2}(y-1)}{x^{2}+5(y-1)^{2}}}+y,(x,y)\neq (0,1)$

$f(x,y)=1,(x,y)=(0,1)$

(a) Probar que $f$ es continua en $(0,1)$.
(b) Hallar, si existen, ${\frac {\partial f}{\partial x}}(0,1)$ y ${\frac {\partial f}{\partial y}}(0,1)$.
(c) Analizar la diferenciabilidad de $f$ en $(0,1)$.