Primer Parcial Verano 2022

Fecha 25/02/2022. Se aprobaba con 60 puntos o más.

Ejercicio 1

En un laboratorio se tienen ratas separadas en dos contenedores según si tienen ojos azules o marrones. Entre las que tienen ojos azules hay 15 hembras y 10 machos, mientras que entre las de ojos marrones se tienen 8 hembras y 20 machos. El asistente de laboratorio elige uno de los dos contenedores y de este extrae dos especímenes. La probabilidad de elegir el contenedor que tiene ratas con ojos azules es 0.3.

• (a) Calcular la probabilidad de que la segunda rata extraída sea hembra dado que la primera rata es hembra. (12 ptos)
• (b) Calcular la probabilidad de que las ratas extraídas sean de distinto sexo. (8 ptos)
• (c) Si H es el evento "ambas son hembras" y A es el evento: "las ratas tienen ojos azules" ¿Son independientes los eventos H y A? Justifique. (5 ptos)

Ejercicio 2

La cantidad de tareas por minuto que recibe un servidor sigue una distribución Poisson de media 3. El servidor cuenta con 5 procesadores y cada tarea es realizada con uno de ellos con lo cual si llegan más de 5 tareas, las restantes son rechazadas.

• (a) Calcular la probabilidad de que en un minuto dado todos los procesadores estén ocupados. (7 ptos)
• (b) ¿Cuál es el número esperado de procesadores ocupados en un minuto? (8 ptos)
• (c) ¿Cuántas tareas rechazadas se espera tener en un minuto? (10 ptos)

Ejercicio 3

Una fábrica produce piezas de acero y de aluminio. El peso en gramos de una pieza de acero es una variable aleatoria con distribución normal de media 15 y desvío estándar 2, mientras que el peso de una de aluminio tiene función de densidad dada por
f(t) = 1/625 t² I_[5,10)(t) + 1/15 I_[10,18](t)
Se tiene una caja de dichas piezas de las cuales 350 son de acero y 650 son de aluminio. Si Y representa el peso de una pieza elegida al azar

• (a) Calcular las probabilidad de que Y sea como mucho 14 gramos. (5 ptos)
• (b) Hallar la función de densidad de Y y E(Y). (8 ptos)
• (c) Si se extraen, con reposición, 20 piezas. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 10 y como mucho 12 de ellas pesen cada una a lo sumo 14 gramos? (6 ptos)
• (d) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya elegido una pieza de acero si se sabe que esta pesa como mucho 14 gramos? (6 ptos)

Ejercicio 4

Una partícula viaja de ida y vuelta a velocidad constante adentro de un túnel de longitud L > 0. En un determinado instante se lanza al interior del túnel una segunda partícula. Se supone que la posición de la primera partícula es una variable U(0, L) y que la segunda partícula se lanza en una posición distribuida también en forma uniforme en el túnel e independiente de la posición de la primera partícula.

• (a) Dar la función de densidad conjunta de las posiciones de ambas partículas en el momento en que se arrojó la segunda partícula (3 ptos)
• (b) Calcular la densidad de la variable que representa la distancia entre ambas partículas en dicho instante. ¿Cuál es la probabilidad de que estén a una distancia de a lo sumo L/6? (11 ptos)
• (c) Calcular la probabilidad de que en el instante en que se arrojó la segunda partícula, la primera estaba como mucho a una distancia L/6 del extremo izquierdo del túnel si se sabe que en dicho instante la distancia entre ambas partículas es mayor que L/6 y la segunda partícula se encontraba a la derecha de la primera. (11 ptos)