Segundo Parcial 2do Cuatrimestre 2015 (Probabilidad y Estadística)

Ejercicio 1 (25 puntos)

Un quiosco vende tres marcas de alfajores: Guaymayen, Terrabusi y Cachafaz. Se sabe que cuando un cliente entra a comprar un alfajor, la proba de que compre el Guaymayen es ${\frac {1}{6}}$, el Terrabusi ${\frac {1}{2}}$ y el Cachafaz ${\frac {1}{3}}$. Asumimos que las marcas elegidas por los distintos clientes son independientes. La ganancia del quiosquero por cada alfajor vendido es de $3 si es Guaymayen, $4 si es Terrabusi y $6 si es Cachafaz.

• (13 puntos) Si un dia entran 40 clientes a comprar un alfajor cada uno, calcular aproximadamente la proba de que la ganancia total del día por la venta de alfajores supere los $177.
• (12 puntos) Usando TCL, cuántos clientes deberían entrar en un día para que la ganancia total del día (por venta de alfajores) supere los $177 con probabilidad aproximada de al menos $0.95$?

Ejercicio 2 (25 puntos)

Consideremos $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ una muestra aleatoria donde la densidad de $X_{i}$ viene dada por

$f(x;\theta )={\frac {4\theta ^{12}}{x^{5}}}I_{[\theta ^{3},\infty )}(x)$, $\theta >0$

• (6 puntos) Hallar ${\hat {\theta }}_{m}$ el estimador de momentos de $\theta$.
• (6 puntos) Es consistente ${\hat {\theta }}_{m}$? Justificar.
• (7 puntos) Hallar el estimador de máxima verosimilitud ${\hat {\theta }}_{M}V$.
• (6 puntos) Es consistente ${\hat {\theta }}_{M}V$?

Ejercicio 3 (25 puntos)

Se supone que el tiempo de vida en años de las baterías para calculadora se distribuye exponencialmente con parámetro $\lambda$. Se tomó una muestra aleatoria de $9$ baterías y se observó el tiempo de vida de cada una de ellas obteniendose una media muestral igual a $2$.

• (12 puntos) Describir las variables aleatorias involucradas en el problema y dar su distribución. Hallar un intervalo de confianza de nivel exacto $0.95$ para el tiempo medio de vida de las baterías. Para ello, recuerde que si $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ son i.i.d. con Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle X_i \~ \Epsillon (\lambda) } , entonces Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle 2 \lambda \sum_{i=1}^n X_i \~ \Gamma(n, \frac{1}{2}) } .
• (13 puntos) Hallar un intervalo de confianza de nivel asintótico $0.95$ para el tiempo de vida de las baterías si el tamaño de muestra es $90$ y la media muestral resulta $2$.

Ejercicio 4 (25 puntos)

Se sabe que 1 de cada 10 fumadores prefiere la marca $A$. Para incrementar esta preferencia, se realiza una campaña publicitaria en cierta región de ventas y se desea estudiar el impacto de la misma.

• (7 puntos) Defina las variables aleatorias, su distribución y el/los parámetros/s involucrado/s. Determine las hipótesis a testear. Construya una región de rechazo de nivel asintótico $\alpha$ para las hipótesis planteadas.
• (5 puntos) Un encuestador entrevistó a 200 fumadores para determinal la efectividad de la campaña. El resultado de esta encuesta mostró que 26 personas preferían la marca $A$. Indican estos datos, a nivel aproximado $0.05$, un aumento en la preferencia por la marca $A$?
• (4 puntos) Calcular el p-valor correspondiente a los datos del item anterior. En base a esto, qué desición tomaría a nivel $0.10$?
• (5 puntos) Cuál es la probabilidad aproximada de decidir que la campaña publicitaria no fue efectiva (a nivel $0.05$), cuando el porcentaje real de preferencia por la marca $A$ despues de la campaña es $0.15$ y se entrevista a 200 fumadores?
• (4 puntos) Qué tamaño de muestra debería tomarse para que la proba de d) fuese a lo sumo $0.10$, manteniendo el nivel $0.05$?

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