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== Ejercicio 1 ==
Sea <math>h:\mathbb{R}^2 \rightarrow\mathbb{R}</math> una función de clase <math>\mathcal{C}^3</math> tal que su polinomio de Taylor centrado en el (0,0) es 
<math>P(x,y)=2x + y^2</math>. 
Sea <math>g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}</math> dada por <math>g(x,y)=e^{h(x,y)}+xy-2x-1</math>
<ol type="a">
 <li> Probar que <math>p=(0,0)</math> es punto crítico de g y clasificarlo. <br></li>

 <li> Sea <math>f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}</math> una función tal que <math>f(0,0)=0</math> y vale que<br> </li>
<center><math> f(x,y) \geq g(x,y) \ \ \ \  \forall(x,y)\in \mathbb{R}^2 </math></center>

Probar que f tiene un mínimo local en (0,0).
</ol>

== Ejercicio 2 ==
Sea <math>f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}</math> una función continua tal que <math>\int_0^1f(t)dt=0</math>
<ol type="a">
<li> Probar que si <math>R:\ [0,1]\times[0,1]</math> 
<center><math>\iint_R f(x)\ dx\,dy \ =\ \iint_Rf(y)\ dx\,dy\ =\ 0</math></center> </li>
<li> Sea <math>D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \leq 1 \}</math> es cierto que:
<center><math>\iint_D f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)dx\,dy=0</math></center> </li>
</ol>

== Ejercicio 3 ==
Sea <math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> continua, <math>I=(a,b)\subset \mathbb{R}</math> un intervalo abierto. Probar que si <math>f(x_0) \in I</math> entonces <math>\exists\,U\subset\mathbb{R}</math> intervalo abierto entorno de <math>x_0</math> tal que <math>f(x)\in I\ \ \forall x\in U</math>.

== Ejercicio 4 ==
Sea <math>I=[a,b]\subset\mathbb{R}</math> un intervalo compacto. Probar que toda función continua <math>f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}</math> es integrable.