Diferencia entre revisiones de «Final 23/07/2013 (Análisis II)»
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== Ejercicio 1 == | == Ejercicio 1 == | ||
Sea f:[a,b] | Sea <math>f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}</math> continua. Probar que <math>f</math> es integrable en <math>[a,b]</math> | ||
== Ejercicio 2 == | == Ejercicio 2 == | ||
Sea f: | Sea <math>f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}</math> de clase <math>C^{1}</math> y <math>g: \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}</math> definida por | ||
g(x,y)=f(e^ | <math>g(x,y)=f(e^{x^{2}+y}, sen(2xy))</math> | ||
Supongamos que el plano tangente al gráfico de f en el punto (1,0,f(1,0)) está dado por z-4x+2y=1. | Supongamos que el plano tangente al gráfico de <math>f</math> en el punto <math>(1,0,f(1,0))</math> está dado por <math>z-4x+2y=1</math>. | ||
Encontrar la dirección en la que la función z=g(x,y) crece más rápidamente en el punto (0,0). | Encontrar la dirección en la que la función <math>z=g(x,y)</math> crece más rápidamente en el punto <math>(0,0)</math>. | ||
== Ejercicio 3 == | == Ejercicio 3 == | ||
Sea P \in | Sea <math>P \in \mathbb{R}^{2}</math> un punto en el plano y <math>F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math> una función de clase <math>C^{1}</math> tal que <math>F(X)=0</math> si y solo si <math>X=P</math>. Probar que <math>\nabla F(P)=0</math>. | ||
== Ejercicio 4 == | == Ejercicio 4 == | ||
a) Sea | a) Sea <math>F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math> diferenciable en un punto <math>P</math>. Probar que <math>f</math> es continua en <math>P</math> y que existen las derivadas parciales de <math>f</math> en <math>P</math>. | ||
b) Encontrar una función | b) Encontrar una función <math>F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}</math> tal que <math>f</math> es continua en <math>(0,0)</math> y existen las derivadas parciales de <math>f</math> en <math>(0,0)</math>, pero <math>f</math> no es diferenciable en <math>(0,0)</math>. | ||
Revisión actual - 04:18 29 jul 2014
Ejercicio 1
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}} continua. Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es integrable en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [a,b]}
Ejercicio 2
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}} de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^{1}} y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g: \mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}} definida por
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x,y)=f(e^{x^{2}+y}, sen(2xy))}
Supongamos que el plano tangente al gráfico de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} en el punto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1,0,f(1,0))} está dado por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z-4x+2y=1} .
Encontrar la dirección en la que la función Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z=g(x,y)} crece más rápidamente en el punto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0,0)} .
Ejercicio 3
Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P \in \mathbb{R}^{2}} un punto en el plano y Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}} una función de clase Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C^{1}} tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(X)=0} si y solo si Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X=P} . Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \nabla F(P)=0} .
Ejercicio 4
a) Sea Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}} diferenciable en un punto Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} . Probar que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es continua en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} y que existen las derivadas parciales de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} .
b) Encontrar una función Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}} tal que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} es continua en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0,0)} y existen las derivadas parciales de Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0,0)} , pero Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} no es diferenciable en Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0,0)} .
