Final 23/12/2002 (Álgebra I)

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Ejercicio 1

Determinar cuántas funciones biyectivas Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle f: \left\{ 1, 2, 3, \ldots , 16\right\} \; \rightarrow \; {1, 2, 3, \ldots , 16 \right\} } satisfacen que $f(a)\equiv a\;(8)$ para todo Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a \in \right\{1, 2, 3, \ldots , 16 \right\} }

Ejercicio 2

Sea $\sim$ la relación de equivalencia en $G_{8}$ definida por

$z\sim w\;\Leftrightarrow \;z^{6}=w^{6}$

Hallar la clase de equivalencia de ${\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

Ejercicio 3

Hallar los $a\in \mathbb {R}$ tales que (al menos) una raíz cúbica de la unidad es raíz del polinomio

$f=X^{7}-X^{4}+aX^{3}-2$

Para cada valor de a hallado, encontrar todas las raíces de $f$ en $\mathbb {C}$.

Ejercicio 4

Hallar todos los $a\in \mathbb {Z}$ tales que $6a^{1}3+7a^{5}+4^{132}\equiv 28\;(105)$

Ejercicio 5

Sea Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle ( f_n)_{n \in \mathbb{N}} la sucesión de polinomios definida por: <math> f_1 = ( X^2 - 1)^2, \;\;\;\; f_{n+1} = (X^2 - 1) f'_n - Xf_n \;\;\;\;\; ( n \in \mathbb{N} ) }

Probar que, para todo $n\in \mathbb {N}$, 1 es raíz doble de $f_{n}$