Final 23/07/2013 (Análisis II)

Ejercicio 1

Sea f:[a,b]->R continua. Probar que f es integrable en [a,b]

Ejercicio 2

Sea f:R2->R de clase C1 y g: R2->R definida por

g(x,y)=f(e^(x^2+y),sen(2xy))

Supongamos que el plano tangente al gráfico de f en el punto (1,0,f(1,0)) está dado por z-4x+2y=1.

Encontrar la dirección en la que la función z=g(x,y) crece más rápidamente en el punto (0,0).

Ejercicio 3

Sea P \in R2 un punto en el plano y F:R2->R una función de clase C1 tal que F(X)=0 si y solo si X=P. Probar que ∇F(P)=0.

Ejercicio 4

a) Sea f:R2->R diferenciable en un punto P. Probar que f es continua en P y que existen las derivadas parciales de f en P.

b) Encontrar una función f:R2->R tal que f es continua en (0,0) y existen las derivadas parciales de f en (0,0), pero f no es diferenciable en (0,0).