Práctica 8 (Métodos Numéricos)

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Ejercicio 2

La función f(x) está definida en el intervalo [0, 1] como:
$f(x)={\begin{cases}x,&si\ 0<=x<={\frac {1}{2}}\\1-x,&si\ {\frac {1}{2}}<=x<=1\end{cases}}$ Calcular $\int _{0}^{1}{f(x)dx}$mediante las siguientes aprox_imaciones:

Ejercicio 2.a

Regla de los Trapecios en [0, 1].
En general:
$\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ \cong T(f, a, b) = f(a) + (x - a) ((f(b) - f(a)) / (b - a))
En nuestro caso:
$=f(0)+(1-0)((f(1)-f(0))/(1-0))$
$=0+1(0-0)/1$
$=1$

Ejercicio 2.b

Regla de los Trapecios, primero en el [0, 1/2] y luego en [1/2, 1].
En nuestro caso entre 0 y 1/2:
$=f(0)+(1/2-0)((f(1/2)-f(0))/(1/2-0))$
$=0+(1/2)(1/2-0)/(1/2-0)$
$=1/2$

En nuestro caso entre 1/2 y 1:
$=f(1/2)+(1-1/2)((f(1)-f(1/2))/(1/2-1))$
$=1/2+(1/2)(0-1/2)/(1/2)$
$=1/2-1/2$
$=0$

Uniendo los dos nos queda un total de 1/2.

Ejercicio 2.c

Regla de Simpson en el [0, 1].
En general:
$\int _{a}^{b}{f(x)dx}\cong Simpson(f,a,b)$
$=(b-a)/6(f(a)+4f((a+b)/2)+f(b))$
En nuestro caso entre 0 y 1:
$=(1-0)/6(f(0)+4f((0+1)/2)+f(1))$
$=1/6(0+4f(1/2)+0)$
$=1/6(41/2)$
$=1/3$

Ejercicio 2.d

¿Cumple f(x) las condiciones del Teorema del error?
La funcion no es C^2, y menos C^4, por lo que no las cumple toda entera... Aunque si la partimos en los dos pedazos en donde esta partida, si los cumple.

Ejercicio 3

Verificar que la siguiente fórmula es exacta para polinomios de grado <= 4:
$\int _{0}^{1}{f(x)dx}$ \cong 1/90 [7 f(0) + 32 f(/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]
(Sug.: tomar f(x) = 1, f(x) = x, etc.).

Como $\int _{0}^{1}{f(x)dx}$ y lo que aparece del otro lado son dos transformaciones lineales, con mostrar que la igualdad es cierta para una base de los polinomios, esto implica que es cierta para cualquier polinomio. Tomamos la base de los polinomios monicos: {1, x, x^2, x^3, x^4} y vamos a probarlo para cada uno de ellos.

Para $1(x)$: $\int _{0}^{1}{1}=1$
$1/90[7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1)]$
$=1/90[7+32+12+32+7]$
$=1/9090=1.$

Para $x(x)$: $\int _{0}^{1}{f(x)dx}\cong 1/90[7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1)]$
$\int _{0}^{1}{xdx}=1/2$
$1/90[7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1)]$
$=1/90[70+321/4+121/2+323/4+71]$
$=1/90[8+6+24+7]$
$=1/9045=1/2.$

Para $x^{2}(x)$: $\int _{0}^{1}{f(x)dx}\cong 1/907f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1)$
$\int _{0}^{1}{x^{2}dx}$ = 1/3
$1/90[7(0)^{2}+32(1/4)^{2}+12(1/2)^{2}+32(3/4)^{2}+7(1)^{2}]$
$=1/90[70+321/16+121/4+329/16+71]$
$=1/90[2+3+18+7]$
$=1/9030=1/3$

Para x^3(x): $\int _{0}^{1}{f(x)dx}$ \cong $1/90[7f(0)+32f(1/4)+12f(1/2)+32f(3/4)+7f(1)]$
$\int _{0}^{1}{x^{3}dx}=1/4$
1/90 [7 (0)^3 + 32 (1/4)^3 + 12 (1/2)^3 + 32 (3/4)^3 + 7 (1)^3]</math>
$=1/90[70+321/64+121/8+3227/64+71]$
$=1/90[1/2+3/2+27/2+7]$
$=1/9045/2=1/4$

Para x^4(x): $\int _{0}^{1}{f(x)dx}$ \cong 1/90 [7 f(0) + 32 f(1/4) + 12 f(1/2) + 32 f(3/4) + 7 f(1)]
$\int _{0}^{1}{x^{4}dx}$ = 1/5
$1/90[7(0)^{4}+32(1/4)^{4}+12(1/2)^{4}+32(3/4)^{4}+7(1)^{4}]$
$=1/90[70+321/256+121/16+3281/256+71]$
$=1/90[1/8+3/4+81/8+7]$
$=1/9018=1/5$

Utilizando lo anterior, encontrar una aprox_imación para $\int _{a}^{b}{f(x)dx}$ .
No tengo ni idea que espera que hagamos aca... Quizas usar la formula de polinomios del 0 al 1 para cualquier a-b, pero me parece cualquiera...

Ejercicio 4

Encontrar una expresión de la forma
$\int _{0}^{2\pi }{f(x)dx}=A1f(0)+A2f(pi)$
que sea exacta para cualquier funcion del tipo f(x) = a + b cos x.

(Sug.: tomar primero f = a y luego f = b cos x).

Como la integral de la suma es la suma de las integrales (si la misma converge), entonces podemos probar para f = a, y luego para f = b cos x y si andan para las dos, luego andara tambien para la suma.
Para f = a:
$\int _{0}^{2\pi }{adx}=A1a+A2a$
$<=>2pia=(A1+A2)a$
$<=>(2pi-(A1+A2))a=0$
$<=>a=0$ o $2\pi$ es igual a: (A1 + A2)) y como tiene que valer para todo a, luego debe ser la segunda, entonces:
$A1+A2=2pi<BR>Paraf=bcosx:<BR><math>\int _{0}^{2pi}b\cos xdx=A1bcos0+A2b\cos \pi$
$<=>bIntegral[0a2pi]cosxdx=A1b1+A2b(-1)$
$<=>b(sen2pi-sen0)=A1b-A2b$
$<=>0=A1b-A2b$
$<=>comotienequevalerparatodob,enparticularvaleparab!=0,entonces:<BR><math><=>0=A1-A2$
$<=>A1=A2$
Uniendo las dos cosas queda que A1 = A2 = pi.

Ejercicio 5

Deducir la fórmula de Newton-Cotes para $\int _{0}^{1}{f(x)dx}$ usando como nodos a los puntos 0, 1/2, 1.
Vamos a buscar primero el polinomio interpolador de estos puntos.
$g_{0}(x)={\frac {(x-{\frac {1}{2}})(x-1)}{(0-{\frac {1}{2}})(0-1)}}$
$g_{0}(x)=2(x-{\frac {1}{2}})(x-1)$
$g_{0}(x)=(2x-1)(x-1)$
$g_{0}(x)=2x^{2}-3x+1$

$g_{\frac {1}{2}}(x)={\frac {(x-0)(x-1)}{({\frac {1}{2}}-0)({\frac {1}{2}}-1)}}$
$g_{\frac {1}{2}}(x)=-4(x-0)(x-1)$
$g_{\frac {1}{2}}(x)=-4x(x-1)$
$g_{\frac {1}{2}}(x)=-4x^{2}+4x$

$g_{1}(x)={\frac {(x-0)(x-{\frac {1}{2}})}{(1-0)(1-{\frac {1}{2}})}}$
$g_{1}(x)=2(x-0)(x-{\frac {1}{2}})$
$g_{1}(x)=x(2x-1)$
$g_{1}(x)=2x^{2}-x$

$g(x)=f(0)g_{0}(x)+f({\frac {1}{2}})g_{\frac {1}{2}}(x)+f(1)g_{1}(x)$
$g(x)=(2x^{2}-3x+1)f(0)+(-4x^{2}+4x)f({\frac {1}{2}})+(2x^{2}-x)f(1)$

Ahora calculamos $\int _{0}^{1}{g(x)dx}$ para aprox_imar $\int _{0}^{1}{f(x)dx}$.
$\int _{0}^{1}{g(x)dx}=\int _{0}^{1}{\left((2x^{2}-3x+1)f(0)+(-4x^{2}+4x)f({\frac {1}{2}})+(2x^{2}-x)f(1)\right)dx}$
$={\left(({\frac {2}{3}}x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+x)f(0)+({\frac {-4}{3}}x^{3}+2x^{2})f({\frac {1}{2}})+({\frac {2}{3}}x^{3}-{\frac {1}{2}}x^{2})f(1)\right)}|_{0}^{1}$
$=\left(({\frac {2}{3}}-{\frac {3}{2}}+1)f(0)+({\frac {-4}{3}}+2)f({\frac {1}{2}})+({\frac {2}{3}}-{\frac {1}{2}})f(1)\right)$

NOTA: Si alguien sabe como poner el "evaluar desde 0 a 1" por favor cambielo.

$=\left({\frac {1}{2}}f(0)+10f({\frac {1}{2}})+{\frac {1}{2}}f(1)\right)$

NOTA2: Esto esta mal, por que deberia dar igual a Simpson... Si alguno se da cuenta del error avise!!!

Ejercicio 6

Usando el ejercicio anterior, aprox_imar $\int _{0}^{1}{sin(x)dx}$ y calcular una cota para el error cometido.

Ejercicio 7

Supongamos que hemos aplicado una fórmula de Newton Cotes de n puntos para aprox_imar una integral. ¿Cuál es la mínima cantidad de puntos que debemos agregar para que la fórmula de Newton Cotes correspondiente, produzca un incremento en la precisión?
Si n es impar debemos agregar dos puntos. Si n es par debemos agregar un solo punto. Esto se debe a que el error para Newton Cotes cualquier n, esta basado en la derivada el siguiente numero par mayor o igual a el.

Ejercicio 8

Indicar cuántos puntos se deben tomar en la aprox_imación de $\int _{0}^{1}{exp(-x^{2})dx}$ por medio de la regla de los Trapecios Compuestos para que el error sea menor que 10^(-6). Idem con la regla de Simpson Compuesta.
Regla de los Trapecios Compuestos:
El error viene dado por la funcion: $-(h^{3})(f''(xx)/12)$ con $xx\in (a,b)$.
Entonces debemos acotar el valor de la segunda derivada de nuestra funcion en el intervalo 0 a 1...
$f(x)=exp(-x^{2})$
$f'(x)=-2xexp(-x^{2})$
$f''(x)=(4x^{2}-2)exp(-x^{2})$
$entre0y1variaentre0y-1.$
$x\in [0,1]\Longrightarrow -x^{2}\in [0;-1]$
$x\in [0,1]\Longrightarrow |exp(-x^{2})|\in [{\frac {1}{e}};1]$
$|(4x^{2}-2)|entre0y1tienecomovalormax_{i}moal2.$
Entonces el error es de: $((b-a)(h^{2})/12)2=(h^{2}/6)=(1/n^{2})/6$
Si quiero $10^{(}-6)>=(1/n^{2})/6$, luego
$<=>610^{(}-6)>=(1/n^{2})$
$<=>{\sqrt {(}}610^{(}-6))>=(1/n)$
$<=>{\sqrt {(}}610^{(}-6))>=(1/n)$
$<=>n>=1/{\sqrt {(}}610^{(}-6))$
$<=>n>=409$

Regla de los Simpson xD:
El error viene dado por la funcion: $(h^{4})/180(b-a)(f^{(}4))(xx)$ con $xx\in (a,b)$.
$f''(x)=(4x^{2}-2)exp(-x^{2})$
$f'''(x)=12xe^{-}x^{2}-8x^{3}e^{-}x^{2}$
$f''''(x)=16x^{4}e^{(}-x^{2})-48x^{2}e^{(}-x^{2})+12e^{(}-x^{2})$
$|16x^{4}e^{(}-x^{2})-48x^{2}e^{(}-x^{2})+12e^{(}-x^{2})|$
$<=|16x^{4}1-48x^{2}1+121|$
$<=|16x^{4}-48x^{2}+12|$
$<=|16||x^{4}|+48|x^{2}|+|12|$
$<=16+48+12=76$
Luego: $(h^{4})/180(b-a)76=76/180(h^{4})debesermenora10^{(}-6).$
$10^{(}-6)>=76/180(1/n^{4})$
$<=>10^{(}-6)>=76/180(1/n^{4})$
$<=>180/7610^{(}-6)>=(1/n^{4})$
$<=>(180/7610^{(}-6))^{(}1/4)>=1/n$
$<=>n>=(180/7610^{(}-6))^{(}1/4)$
$<=>n>=(180/7610^{(}-6))^{(}1/4)$
$<=>n>=26$

Ejercicio 9

Contamos con 2n nodos igualmente espaciados, $x_{0},x_{1},...,x_{2n}$. Se calcula en la forma usual, la regla de los Trapecios Compuesta pero solamente sobre los nodos impares. Basándose en esto, se pide hallar una expresión para la regla de los Trapecios Compuesta en los 2n nodos.
NOTA: No estoy seguro de que quiere decir el enunciado... Interpreto que quiere que demos la formula de los Trapecios Compuesta para los 2n nodos suponiendo que ya tenemos cuanto vale la regla tomando solo los nodos impares.
En general:
$T(f,a,b,n)=h/2(f(a)+2\sum _{j=1}^{n-1}f(a+((b-a)j)/n)+f(b))$
O de otra forma:

$T(f,x_{0},x_{n},n)=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n}))$

En nuestro caso particular:
$T(f,x_{0},x_{2n},n)=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{2n-1}f(x_{i})+f(x_{2n}))$

En los nodos impares:
$T(f,x_{0},x_{2n},2n)=h/2(f(x_{1})+2\sum _{i=1}^{n-2}f(x(2i)+1)+f(x_{2n}-1))$
$T(f,x_{0},x_{2n},n):$
$=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{2n-1}f(x_{i})+f(x_{2n}))$
$=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x2i)+2\sum _{i=0}^{n-1}<BR>f(x(2i)+1)+f(x_{2n}))$
$=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x2i)+f(x_{1})+f(x_{1})+f(x_{2n}-1)$
$+f(x_{2n}-1)+2\sum _{i=1}^{n-2}f(x(2i)+1)+f(x_{2n}))$
$=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x2i)+f(x_{1})+f(x_{2n}-1)+f(x_{2n})$
$+f(x_{1})+2\sum _{i=1}^{n-2}f(x(2i)+1)+f(x_{2n}-1))$
$=h/2(f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x2i)+f(x_{1})+f(x_{2n}-1)+f(x_{2n}))+TrapeciosImpares(f,x_{0},x_{2n},n)$