Práctica 1: Conjuntos, relaciones y funciones (Álgebra I)

Ejercicio 1

Dado el conjunto A = {1,2,{3},{1,2},-1} determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

i) 3 ∈ A. FALSO
ii) {1,2} ⊆ A. VERDADERO
iii) {1,2} ∈ A. VERDADERO
iv) {3} ⊆ A. FALSO
v) { {3} } ⊆ A. VERDADERO
vi) Ø ∈ A. FALSO
vii) {-1,2} ⊆ A. VERDADERO
viii) Ø ⊆ A. VERDADERO
ix) {1,2,-1} ∈ A. FALSO

Ejercicio 2

Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; B=\left\{1,2,\left\{3\right\}, -3\right\}} . NO ESTÁ INCLUÍDO.
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2,0,-1,-2 \right\}; B=\left\{x \in \Re / |x+3| \leq 1 \right\}} . NO ESTÁ INCLUIDO.
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{1,2, \sqrt{9} \right\}; =\left\{1,2,3,4,5\right\}} ESTÁ INCLUÍDO
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{\emptyset \right\}; B=\emptyset } . NO ESTÁ INCLUÍDO
v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{x \in \Re / 2 \leq |x| \leq 3 \right\} ; B = \left\{ x \in \Re / x^2 < 3 \right\} } . NO ESTÁ INCLUÍDO.

Ejercicio 3

Dados los conjuntos A = {1,3,5,7,8,11} y B = {-1,3,-5,7,-8,11}. Hallar:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap B = \left\{3,7,11 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup B = \left\{-8,-5,-3,-1,1,3,5,7,8,11 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A - B = \left\{1,5,8 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B - A = \left\{-1,-5,-8 \right\}}
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \triangle B = \left\{-8,-5,-1,1,5,8 \right\} }

Ejercicio 4

Dado el conjunto referencial Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V = \left\{ n \in N | n\;es\;multiplo\;de\;15 \right\}} hallar el comlpemento del subconjunto A de V definido por Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \left\{ n \in N | n \leq 132 \right\}}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A' = \left\{ 15,60,45,60,75,90,105,120 \right\} }

Ejercicio 5

Dado el conjunto referencial V = {1, {3}, -2, 7, 10, {1,2,3}, 3} y dados los subconjuntos A = {1, -2, 7, 3}, B= {1, {3}, 10} y C = {-2, {1,2,3}, 3} hallar:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap ( B \triangle C )= \left\{ 1,-2,3 \right\} }
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \triangle B ) - C = \left\{ 7, \left\{3 \right\} , 10 \right\} }
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A - B) \cap C = \left\{ -2, 3 \right\} }
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cup B' ) \cap C = \left\{ -2, \left\{1,2,3 \right\} , 3 \right\} }
v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A' \cap B' \cap C' = \emptyset }
vi) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A - B' ) \triangle C = \left\{ 1, -2, \left\{ 1, 2, 3 \right\} , 3 \right\} }

Ejercicio 6

En un grupo de 110 alumnos hay 63 alumnos que estudian inglés, 30 que estudian alemán y 50 que estudian francés. Sabiendo que hay 7 alumnos que estudian los tres idiomas, 30 que sólo estudian inglés, 13 que sólo estudian alemán y 25 que sólo estudian francés, determinar

i) ¿Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
ii) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y alemán pero no francés?
iii) ¿Cuántos alumnos estudian alemán y grancés pero no inglés?
iv) ¿Cuántos alumnos estudian inglés y francés pero no alemán?
v) ¿Cuántos alumnos no estudian ningún idioma?

i) 41
ii) 9
iii) 1
iv) 17
v) 8

Ejercicio 8

Encontrar fórmulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn (ver la práctica), utilizando únicamente intersecciones, uniones y complementos:

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( A \cap (B' \cup C' ) ) \cup ( (B \cap C) \cap A' ) }
ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( ( A \cap C' ) \cup ( C \cap A')) \cap B' }
iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ((A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)) \cap (A \cap B \cap C)' }
iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ((( A \cap B') \cup (B \cap A')) \cap C' ) \cup ( C \cap ( (A' \cup B) \cap ( B' \cup A)) }

Ejercicio 9

Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los conjuntos A, B y C y cuáles no. Para las que sean verdaderas, dar una demostración, para las otras dar un contraejemplo.

i) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cup (B \cap C ) = ( A \cup B) \cap C }

FALSO. Contraejemplo:

A = {1, 2, 3} B = {3, 4, 5} C = {1, 3, 4}

ii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \cup B)' = A' \cap B' }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cup B ) \Longleftrightarrow x \notin A \and x \notin B \Longleftrightarrow x \in A' \and x \in B' \Longleftrightarrow x \in ( A' \cap B') }

iii) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (A \triangle B ) \subseteq (A \triangle C) \cup ( B \triangle C) }

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in (A \triangle B) \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \notin B) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B ) \Rightarrow }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

Si agregamos una condición que ya está dada, las soluciones son las mismas. Entonces repitamos algunas condiciones:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in A \and x \notin B \and x \in C )\; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \in A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

Y ahora separamos las condiciones en dos grupos para facilitar la lectura de la demostración.

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (1) ( x \in A \and x \notin B \and x \notin C) \; \or \; (x \notin A \and x \in B \and x \in C) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

y:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (2) ( x \notin A \and x \in B \and x \notin C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin B \and x \in C ) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \;( x \in A \and x \in B \and x \notin C ) \; \or \; ( x \notin A \and x \notin B \and x \in C ) }

Trabajemos con (1):
Reordenando y reagrupando:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \notin B \and ( ( x \in A \and x \notin C) \; \or \; ( x \notin A \and x \in C))) \; \or }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \or \; ( x \in B \and (( x \notin A \and x \in C) \; \or \; ( x \in A \and x \notin C))) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \notin B \and x \in ( A \triangle C)) \; \or \; ( x \in B \and ( x \in ( A \triangle C)) }
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ( x \in ( A \triangle C) \and ( x \in B \or x \notin B) \Rightarrow }
Por tautología:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in ( A \triangle C) }

Ahora de manera análoga resolvemos que (2) implica que Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \triangle C) } y juntando nuevamente los datos de (1) y (2) obtenemos:
Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( B \triangle C) \; \or \; x \in ( A \triangle C) \Rightarrow x \in (A \triangle C ) \cup ( B \triangle C) }

iv) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B) \cup ( A \cap C)}

VERDADERO. Demostración:

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( A \cap ( B \cup C ) ) \Longleftrightarrow x \in A \and x \in ( B \cup C) \Longleftrightarrow x \in A \and ( x \in B \or x \in C )}

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Longleftrightarrow ( x \in A \and x \in B ) \; \or \; ( x \in A \and x \in C ) \Longleftrightarrow x \in (A \cap B ) \; \or \; x \in ( A \cap C ) }

Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in ( ( A \cap B) \cup ( A \cap C ) ) }

v) Error al representar (SVG o PNG como alternativa (MathML puede ser habilitado mediante plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C \subseteq A \Rightarrow ( B \cap C ) \subseteq (A \triangle B)' }

VERDADERO. Demostración:

Sabemos por hipótesis que $C\subseteq A$, es decir, que $x\in C\Rightarrow x\in A$

$x\in (B\cap C)\Longleftrightarrow x\in B\land x\in C\Rightarrow x\in B\land x\in A\Rightarrow$

$\Rightarrow (x\in B\land x\in A)\;\lor \;(x\notin B\land x\notin A)\Rightarrow x\in (B\cap A)\;\lor \;x\in (A\cup B)'$

$\Rightarrow x\in ((A\cup B)-(B\cap A))'\Rightarrow x\in (B\triangle A)'$

vi) $A\triangle B=\emptyset \Longleftrightarrow A=B$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cup (B-A))$
$(A-B)\cup (B-A)=\emptyset \Longleftrightarrow A-B=\emptyset \;\land \;B-A=\emptyset$

• $A-B=\emptyset \Longleftrightarrow \not \exists x\;/\;x\in A\land x\notin B\Longleftrightarrow A\subseteq B$
  
• $B-A=\emptyset \Longleftrightarrow \not \exists x\;/\;x\in B\land x\notin A\Longleftrightarrow B\subseteq A$
  

$A\subseteq B\;\land \;B\subseteq A\Longleftrightarrow A=B$

vii) $(A\triangle B)-C)=(A-C)\triangle (B-C)$

VERDADERO. Demostración:

$x\in ((A\triangle B)-C)\Longleftrightarrow x\in (A\triangle B)\land x\notin C\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow ((x\in A\land x\notin B)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B))\land x\notin C\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in A\land x\notin B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin A\land x\in B\land x\notin X)\Longleftrightarrow$

Uniendo conjuntos vacíos:

$(x\in A\land x\notin C\land x\in C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin C\land x\notin B)\;\lor \;$

$\lor \;((x\notin A\land x\in B\land x\notin C)\lor (x\in C\land x\in B\land x\notin C))\Longleftrightarrow$

$((x\in A\land x\notin C)\land (x\notin B\lor x\in C))\;\lor \;((x\notin A\lor x\in C)\land (x\in B\land x\notin C))$

$\Longleftrightarrow (x\in (A-C)\land x\in (B-C)')\;\lor \;(x\in (A-C)'\land x\in (B-C))\Longleftrightarrow$ $\Longleftrightarrow x\in ((A-C)\triangle (B-C))$

viii) $A\triangle \emptyset =A$

VERDADERO. Demostración:

$x\in (A\triangle \emptyset )\Longleftrightarrow (x\in A\land x\notin \emptyset )\;\lor \;(x\notin A\land x\in \emptyset )\Longleftrightarrow x\in A\land x\notin \emptyset \Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A$

Ejercicio 10

Sean A, B y C subconjuntos de un conjunto referencial V. Probar que:

i) $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

$x\in (A\;\cup \;(B\;\cap \;C))\Longleftrightarrow x\in A\;\lor \;x\in (B\;\cap \;C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A\;\lor \;(x\in B\;\land \;x\in C)\Longleftrightarrow (x\in A\;\lor \;x\in B)\;\land \;(x\in A\;\lor \;x\in C)$

$\Longleftrightarrow x\in ((A\;\cup \;B)\;\cap \;(A\;\cup \;C))$

ii) $(A\cap B)'=A'\cup B'$

$x\in (A\cap B)'\Longleftrightarrow x\notin (A\cap B)\Longleftrightarrow x\notin A\land x\notin B\Longleftrightarrow x\in (A'\cup B')$

iii) $A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$

$x\in (A\cap (B\triangle C))\Longleftrightarrow x\in A\land x\in (B\triangle C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A\land ((x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\notin B\land x\in C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;\lor \;(x\in A\land x\notin B\land x\in C)\Longleftrightarrow$

$(x\in A\land x\in B\land x\notin (A\cap C))\;\lor \;(x\in A\land x\notin (A\cap B)\land x\in C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in (A\cap B)\land x\in (A\cap C)')\;\lor (x\in (A\cap C)\land x\in (A\cap B)')$

$x\in (A\cap B)\triangle (A\cap C)$

iv) $A-(B-C)=(A-B)\cup (A\cap C)$

$x\in (A-(B-C))\Longleftrightarrow x\in A\land x\notin (B-C)\Longleftrightarrow x\in A\land (x\notin B\lor x\in C)$

$\Longleftrightarrow (x\in A\land x\notin B)\;\lor \;(x\in A\land x\in C)\Longleftrightarrow x\in (B-C)\;\lor \;x\in (A\cap C)$

$\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cup (A\cap C))$

v) $A-(A\triangle B)=(A\cap B)$

$x\in (A-(A\triangle B))\Longleftrightarrow x\in A\land x\notin (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in A\land x\notin (A\cup B)\land x\in (A\cap B)$

$\Longleftrightarrow x\in A\land x\in (A\cap B)\Longleftrightarrow x\in (A\cap B)$

vi) $(A\cap C)-B=(A-B)\cap C$

$x\in ((A\cap C)-B)\Longleftrightarrow x\in (A\cap C)\land x\notin B\Longleftrightarrow x\in A\land x\notin B\land x\in C\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in (A-B)\land x\in C\Longleftrightarrow x\in ((A-B)\cap C)$

vii) $A\subseteq B\Rightarrow A\triangle B=B\cap A'$

$x\in (A\triangle B)\Longleftrightarrow x\in (A-B)\;\lor \;x\in (B-A)$ Pero como $A\subseteq B\Rightarrow A-B=\emptyset$

$x\in (A-B)\lor x\in (B-A)\Longleftrightarrow x\in \emptyset \lor x\in (B-A)\Longleftrightarrow x\in (B\cap A')$

viii) $A\subseteq B\Longleftrightarrow B'\subseteq A'$

Sabemos que $p\Rightarrow q$ implica $\neg q\Rightarrow \neg p$

$A\subseteq B\Longleftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B)\Longleftrightarrow (x\notin B\Rightarrow x\notin A)\Longleftrightarrow B'\subseteq A'$

ix) $C\subseteq A\Rightarrow (A\cup B)\cap C'=(B-C)\cup (A\triangle C)$

$x\in (A\cup B)\cap C'\Longleftrightarrow (x\in A\lor x\in B)\land x\notin C\Longleftrightarrow$

$(x\in A\land x\notin C)\lor (x\in B\land x\notin C)$ como $C\subseteq A\Rightarrow C-A=\emptyset$. Podemos añadir restricciones de solución nula sin cambiar el conjunto de soluciones, por lo que

$(x\in A\land x\notin C)\lor (x\in B\land x\notin C)\Longleftrightarrow$ $\Longleftrightarrow (x\in A\land x\notin C)\lor (x\notin A\land x\in C)\lor (x\in B\land x\notin C)\Longleftrightarrow$

$x\in (A-C)\lor x\in (C-A)\lor (B-C)\Longleftrightarrow x\in ((A\triangle )\cup (B-C))$

ix) $A\cap C=\emptyset \Rightarrow A\cap (B\triangle C)=A\cap B$

$x\in (A\cap (B\triangle C))\Longleftrightarrow x\in A\land x\in (B\triangle C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in A\land ((x\in B\land x\notin C)\lor (x\notin B\land x\land x\in C))\Longleftrightarrow$

$(x\in A\land x\in B\land x\notin C)\lor (x\in A\land x\notin B\land x\in C)$

Como $\not \exists x/x\in A\land x\in C\Rightarrow (x\in A\land x\in B\land x\notin C)\lor (x\in A\land x\notin B\land x\in C)\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow (x\in A\land x\in B\land x\notin C)\;con\;A\cap C=\emptyset \Longleftrightarrow x\in A\;\land \;x\in B\Longleftrightarrow$

$\Longleftrightarrow x\in (A\cap B)$

Ejercicio 11

Hallar el conjunto P(A) de partes de A en los casos

i) $A=\emptyset$

$P(A)=\left\{\emptyset \right\}$

ii) $A=\left\{1\right\}$

$P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\}\right\}$

iii) $A=\left\{a,b\right\}$

$P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{a,b\right\},\left\{b\right\}\right\}$

iv) $A=\left\{1,a,\left\{-1\right\}\right\}$ $P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\},\left\{a\right\},\left\{\left\{-1\right\}\right\},\left\{1,a\right\},\left\{a,\left\{-1\right\}\right\},\left\{a,\left\{-1\right\}\right\},\left\{1,a,\left\{-1\right\}\right\}\right\}$

v) $A=\left\{1,\left\{1,2\right\}\right\}\;\;\;\;P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\},\left\{\left\{1,2\right\}\right\},\left\{1,\left\{1,2\right\}\right\}\right\}$

vi) $A=\left\{1,3,5,\emptyset \right\}$ $P(A)=\left\{\emptyset ,\left\{1\right\},\left\{3\right\},\left\{5\right\},\left\{\emptyset \right\},\left\{1,3\right\},\left\{3,5\right\},\left\{5,\emptyset \right\},\left\{1,\emptyset \right\},\left\{1,5\right\},\left\{3,\emptyset \right\},\left\{1,3,5\right\},\left\{1,3,\emptyset \right\},\left\{1,5,\emptyset \right\},\left\{3,5,\emptyset \right\},\left\{1,3,5,\emptyset \right\}\right\}$