Métodos Numéricos

Métodos Numéricos es una materia dedicada al estudio de los problemas numéricos, su tratamiento y su resolución óptima. Pertenece al área de Métodos Numéricos y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en Segundo año. Es correlativa de Probabilidades y Estadística y de Algoritmos y Estructuras de Datos I.

Históricamente, esta materia se cursa los Lunes, Miércoles y Viernes a la noche.

Información general sobre la cursada

Métodos Numéricos consiste de una cursada teórica, una práctica y una de laboratorio.

Anteriormente, para aprobar la práctica debían rendirse 3 Parciales. Actualmente, la materia consta de 2 parciales y algunos talleres obligatorios.

Para aprobar la parte de laboratorio deben realizarse 3 Trabajos Prácticos, cuyas fechas de entrega son, en general, una semana antes de cada parcial. Los trabajos son en grupos de hasta 3 personas (4 personas en 2cuat 2017)

Una característica particular de Métodos Numéricos es que la cátedra permite aprobar los parciales y los trabajos prácticos en el plazo de 2 cuatrimestres consecutivos.

La materia se aprueba rindiendo un Final obligatorio.

Programa

• Aritmética de la computadora. Representación de números. Error de redondeo y truncamiento. Error relativo y absoluto. Operaciones aritméticas. Algoritmos. Estabilidad y convergencia.
• Algoritmos para resolver ecuaciones no lineales en una variable: Bisección, Pto.Fijo, Newton, Secante, Regula Falsi
• Resolución de sistemas lineales. Gauss y descomposición LU. Estrategias de pivoteo. Análisis de error. Numero de condición. Matrices especiales: simétricas, banda, etc. Descomposición QR. Cálculo de autovalores: método de potencias y algoritmo QR.
• Algoritmos iterativos para resolver sistemas lineales: Jacobi, Gauss-Seidel, gradientes conjugados.
• Sistemas de inecuaciones lineales: metodo simplex (tema comodín).
• Resolución de sistemas no lineales: Metodo de Newton, Newton-modificado, Broyden. Convergencia global y local.
• Interpolación: Lagrange, diferencias divididas, Splines.
• Aproximación: Cuadrados mínimos lineales.
• Integración numérica: Métodos basados en interpolación.

Guías prácticas con soluciones

• Práctica 1: Elementos de Álgebra lineal
• Práctica 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales
• Práctica 3: (Matrices/Sistemas) Especiales
• Práctica 4: Matrices ortogonales/QR (vacía)
• Práctica 5: Autovalores/Método de la potencia/SVD (vacía)
• Práctica 6: Métodos Iterativos (vacía)
• Práctica 7: Interpolación e Integración Numérica
• Práctica 8: Cuadrados Mínimos
• Práctica 9: Ceros de funciones (vacía)

Finales

El final de esta materia puede ser oral o escrito, dependiendo de la cantidad de alumnos presentes el día del final.

Escrito

Si es escrito consiste en hacer un desarollo escrito completo, sobre cuatro temas de la materia (la eleccion de los temas depende de la profesora, no del alumno). Se tienen 3 horas para realizar dicho desarrollo. Los temas que entran en los finales actualmente son los siguientes:

• Aritmética de la computadora. Representación de números. Error de redondeo y truncamiento. Error relativo y absoluto. Operaciones aritméticas. Algoritmos. Estabilidad y convergencia.
• Resolución de sistemas lineales. Eliminación gaussiana y descomposición LU. Estrategias de pivoteo. Análisis de error. Numero de condición.
• Resolución de sistemas lineales con matrices especiales: simétricas, banda, simétricas definidas positivas, con menores principales no singulares.
• Métodos iterativos para resolver sistemas lineales: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradientes conjugados.
• Descomposición QR. Algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt, rotaciones de Givens, reflexiones de Householder.
• Cálculo de autovalores. Teorema de los círculos de Gerschgorin, algoritmo QR, método de potencias, método de potencias inverso.
• Interpolación. Polinomio interpolador de Lagrange, algoritmo de Neville, diferencias divididas de Newton. Splines cúbicos.
• Aproximación por cuadrados mínimos lineales. Idea geométrica. Existencia y unicidad. Resolución con ecuaciones normales, descomposición QR y SVD.
• Algoritmos para resolver ecuaciones no lineales en una variable (AKA Ceros de funciones). Métodos de Bisección, Punto Fijo, Newton-Raphson, Secante, Regula Falsi.
• Resolución de sistemas no lineales. Metodos de Newton, Newton modificado, Broyden.

Los videos de Gilbert Strang (en ingles, pero con muy buenos subtitulos en ingles si se activa el CC), son muy útiles para refrescar muchos de los temas tomados en el final. Se puede encontrar una lista de los videos en youtube o consultar el temario de la materia que Gilbert dicta en el MIT. Ademas, también existen videos de Gilbert en otros cursos explicando métodos iterativos (jordan, gauss-seidel y SOR), gradientes conjugados (se empieza a poner mas interesante en el minuto 26) y el método de newton.

Algunos ejemplos de temas tomados en los finales:

• 27/12/2010: Factorización LU, matrices especiales, ceros de funciones.

• 22/02/2011: Aritmética finita, cálculo de autovalores, interpolación, cuadrados mínimos.

• 07/03/2013:
  • Tema 1: Cuadrados mínimos, QR, direcciones conjugadas, splines.
  • Tema 2: Cuadrados mínimos, LU, direcciones conjugadas, métodos iterativos.

• 09/12/2015: Cuadrados mínimos, QR, ceros de funciones, LU.
• 02/08/2016: Cuadrados mínimos, LU, Simplex.
• 08/09/2016: Cuadrados mínimos, interpolación, ceros de funciones.
• 09/03/2017: Cuadrados mínimos, interpolación, autovalores.
• 08/08/2017: Cuadrados mínimos, QR, métodos iterativos.
• 26/12/2018: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, Interpolación/Autovalores (a elección).

• 21/02/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.
• 21/02/2019: Interpolación, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas, QR.
• 07/03/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.

Una lista ordenada de los temas según aparición podría ser: Cuadrados mínimos (11), métodos iterativos con direcciones conjugadas (8), interpolación (8), LU (5), ceros de funciones (5), QR (5), cálculo de autovalores (3), aritmética finita (1), matrices especiales (1).

Oral

Si es oral, consiste en una serie de preguntas concisas sobre toda la materia. Por ejemplo:

• Quiero resolver un sistema con splines, cubicos, ponele que con frontera sujeta. Siempre tengo solución? Por qué?
• Método de Newton, qué condiciones necesito para converger.
  • Cuál es la idea intuitiva del método de newton?
  • Método de newton, alguna crítica.
• Método de biseccion. Alguna crítica.
• Comparar Newton con secante
• Orden de convergencia del método de la secante
• Dar alguna condición para afirmar que tenemos una base de autovectores.
• Quiero dar un polinomio interpolador. Siempre existe? Que algoritmos conoces para calcularlo?
  • Aritmética finita. Que cosas debería tener en cuenta? O errores que puedo tener. Que es el epsilon de la maquina?

• Qué es el número de condición? Intuición y definición.

• Factorizaciones
  • Toda matriz tiene LU?
    • De que depende?
    • Conoces alguna condición si y sólo si para que tenga LU (aparte de la de eliminación Gaussiana)
  • Toda matriz tiene factorización QR? Es unica? Bajo condiciones lo es?
  • Qué son los valores singulares?

• Matrices especiales
  • Si una matriz es simétrica definida positiva (s.d.p.) cómo te conviene resolver un sistema lineal?

• Método de la potencia y potencia inversa:
  • Algún método para encontrar el autovalor más grande de una matriz.
  • Qué condiciones son necesarias para que el método de la potencia converja?

• Métodos iterativos
  • Cuándo convergen? Condiciones necesarias y suficientes.
  • Qué es el radio espectral?

• Cuadrados mínimos:
  • Por qué está bueno cuadrados mínimos lineales en relación a cuadrados mínimos no lineales?
  • Interpretación geométrica
  • Tengo un problema de cuadrados mínimos, siempre tiene solucion?
  • Que métodos conoces para resolver cuadrados mínimos?

Apuntes

• Apunte teórico de la materia (Repositorio de fuentes): Un apunte de todos los temas de la materia, incluyendo las demostraciones de casi todos resultados. Basado en gran parte en las clases de Isabel. 78 páginas. Cualquier error que encuentren por favor avisarlo a guido.tag _ARROBA_ gmail.com.
• Apunte teórico de la materia (Repositorio de fuentes): Un apunte de los temas que entran en el final. Está basado en las clases de Isabel e incluye algunas demostraciones. 56 páginas. (Fe de erratas Corregidas. Muchas gracias). Como siempre, por favor avisar de cualquier error que encuentren o si quieren expandirlo, mejorarlo, etc a jsackmann _ARROBA_ cubawiki.com.ar
• Apunte teórico para el final (fuente): Un resumen muy completo con explicaciones de todos los tema teóricos que se suelen tomar en el final. 25 páginas.
• Apunte teórico para el final (fuente): Apunte basado en el de arriba, pero sin los temas que ya no se toman (como Simplex) y con algunas cosas más. Todavía le falta para ser perfecto.
• Apunte teórico muy resumido para el final (fuente): Un resumen los temas que se piden en el final, agrupados por como se piden. 7 Páginas. Ojo! Esta incompleto cuadrados minimos. Aritmetica de la computadora y busqueda de ceros seguro esta bien, el resto no tuve oportunidad de comprobar nada.
• Apunte con ideas claves de cada tema: Mini apunte con todo lo que tenes que saber para metodos. Se recomienda tener esto presente y profundizar cada tema con bibliografia e internet.
• Apuntes para el TP3: Clase del 23 de Octubre del 2006 acerca de factorización QR, método de Givens, algoritmo QR para el cálculo de autovalores para el tercer trabajo práctico.
• Zoom con splines en Matlab: Clase de laboratorio del 13 de Noviembre del 2006 acerca splines cúbicos, con el código de Matlab para efectuar zoom sobre imágenes y otros experimentos.
• Otro apunte más para el final (Repositorio de fuentes). Está basado en notas de las clases teóricas y toma elementos de varios de los apuntes anteriores. Incluye todos los temas que entran en el final, excepto programación lineal/simplex (que entra solo a veces).

TP

• Caratula para latex, con ciertas facilidades

Parciales

Primeros parciales

• Primer Parcial 11/05/2007
• Primer Parcial 9/05/2008
• Primer Parcial 23/04/2012 ej2 ej3
• Primer Parcial 07/12/2012 (recuperatorio)
• Primer Parcial 13/09/2013
• Primer Parcial 15/09/2014
• Primer Parcial 20/04/2015 ej3
• Primer Parcial 11/09/2015
• Primer Parcial 25/11/2015 (recuperatorio)
• Primer Parcial 18/04/2016
• Primer Parcial 04/07/2016 (recuperatorio)
• Primer Parcial 12/11/2016
• Primer Parcial 24/04/2017 (resuelto)
• Primer Parcial 18/09/2017
• Primer Parcial 23/04/2018 (semi-resuelto)
• Primer Parcial 08/10/2018 (resolución)

Segundos parciales

• Segundo Parcial del 07/07/2006
• Segundo Parcial del 21/07/2006 (recuperatorio)
• Segundo Parcial del 04/07/2008
• Segundo Parcial del 04/06/2012
• Segundo Parcial del 30/10/2014
• Segundo Parcial del 22/05/2015 ej3
• Segundo Parcial del 30/05/2016
• Recuperatorio del Segundo Parcial del 11/07/2016
• Segundo Parcial 05/06/2017 (resuelto)
• Segundo Parcial 30/10/17
• Segundo Parcial 04/06/18 (resuelto)
• Segundo Parcial 09/11/18 (resolución)

Terceros parciales

• Tercer Parcial del 30/06/2014
• Tercer Parcial del 21/11/2014 ej2 ej3
• Tercer Parcial del 29/06/2015 ej2

Bibliografía recomendada

• R. Burden y J.D.Faires, Análisis numérico, International Thomson Editors, 1998 ("El Burden") (Circulante 519 600 Burden en la Biblioteca Central); libro básico para seguir la materia.
• G. Strang, Linear algebra and its applications, Harcourt Brace Jovanovich, 1988 (Circulante 512 640 Strang en la Biblioteca Central)
• V. Chvatal, Linear programming, Freeman, 1983; libro para Simplex, capitulos 2, 3, 7.
• G.H. Golub y C.F. van Loan, Matrix computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1991; libro con algoritmos útil para el laboratorio.
• J. Nocedal and S. Wright, Numerical optimization, Springer Verlag, 1999; libro muy útil para sistemas de ecuaciones no lineales y especialmente direcciones conjugadas; se puede encontrar en la infoteca.
• D. Watkins, Fundamentals of matrix computations, John Wiley & Sons, 1991; libro muy bueno para cuadrados mínimos y factorizaciones QR y SVD; se puede encontrar en la infoteca.

Videografía recomendada

• Clases del MIT de Álgebra Lineal dadas por Gilbert Strang (autor de uno de los libros que sugiere la cátedra). Un capo la verdad, hay muchas clases que valen la pena, tienen que ver con los contenidos de la materia y estan muy bien explicadas.

• Holistic Numerical Methods (MathForCollege.com / University of South Florida). Material muy completo sobre casi todos los contenidos de la materia. No son clases filmadas, sino videos explicando cada tema y videos con ejemplos de cada tema por separado. Tiene subtítulos en inglés. También hay autoevaluaciones de múltiple opción y archivos para MatLab.

• Video muy completo ideal para preparar el final

Enlaces externos

• Página oficial de la Materia
• Apunte con fórmulas útiles
• Apunte de Elementos de Cálculo Numérico
• Apunte de Cuadrados Mínimos
• Apuntes de Métodos Computacionales en Ingeniería II