Métodos Numéricos

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Esta página es sobre la materia del plan de estudios 1993. Para ver la materia del plan 2023, consultar Álgebra Lineal Computacional.

Métodos Numéricos es una materia dedicada al estudio de los problemas numéricos, su tratamiento y su resolución óptima. Pertenece al área de Métodos Numéricos y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en Segundo año. Es correlativa de Probabilidades y Estadística y de Algoritmos y Estructuras de Datos I.

Históricamente, esta materia se cursa los Lunes, Miércoles y Viernes a la noche.

Información general sobre la cursada

Métodos Numéricos consiste de una cursada teórica, una práctica y una de laboratorio.

Anteriormente, para aprobar la práctica debían rendirse 3 Parciales. Actualmente, la materia consta de 2 parciales y algunos talleres obligatorios.

Para aprobar la parte de laboratorio deben realizarse 3 Trabajos Prácticos, cuyas fechas de entrega son, en general, una semana antes de cada parcial. Los trabajos son en grupos de hasta 3 personas (4 personas en 2cuat 2017)

Una característica particular de Métodos Numéricos es que la cátedra permite aprobar los parciales y los trabajos prácticos en el plazo de 2 cuatrimestres consecutivos.

La materia se aprueba rindiendo un Final obligatorio.

Programa

Guías prácticas con soluciones

Finales

El final de esta materia puede ser oral o escrito, dependiendo de la cantidad de alumnos presentes el día del final.

Escrito

Si es escrito consiste en hacer un desarrollo escrito completo, sobre tres o cuatro temas de la materia (la elección de los temas depende de la profesora, no del alumno). Se tienen 3 horas para realizar dicho desarrollo. Los temas que entran en los finales actualmente son los siguientes:

  • Aritmética de la computadora. Representación de números. Error de redondeo y truncamiento. Error relativo y absoluto. Operaciones aritméticas. Algoritmos. Estabilidad y convergencia.
  • Resolución de sistemas lineales. Eliminación gaussiana y descomposición LU. Estrategias de pivoteo. Análisis de error. Numero de condición.
  • Resolución de sistemas lineales con matrices especiales: simétricas, banda, simétricas definidas positivas, con menores principales no singulares.
  • Métodos iterativos para resolver sistemas lineales: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradientes conjugados.
  • Descomposición QR. Algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt, rotaciones de Givens, reflexiones de Householder.
  • Cálculo de autovalores. Teorema de los círculos de Gerschgorin, algoritmo QR, método de potencias, método de potencias inverso.
  • Interpolación. Polinomio interpolador de Lagrange, algoritmo de Neville, diferencias divididas de Newton. Splines cúbicos.
  • Aproximación por cuadrados mínimos lineales. Idea geométrica. Existencia y unicidad. Resolución con ecuaciones normales, descomposición QR y SVD.
  • Algoritmos para resolver ecuaciones no lineales en una variable (AKA Ceros de funciones). Métodos de Bisección, Punto Fijo, Newton-Raphson, Secante, Regula Falsi.
  • Resolución de sistemas no lineales. Metodos de Newton, Newton modificado, Broyden.

Los videos de Gilbert Strang (en ingles, pero con muy buenos subtitulos en ingles si se activa el CC), son muy útiles para refrescar muchos de los temas tomados en el final. Se puede encontrar una lista de los videos en youtube o consultar el temario de la materia que Gilbert dicta en el MIT. Ademas, también existen videos de Gilbert en otros cursos explicando métodos iterativos (jordan, gauss-seidel y SOR), gradientes conjugados (se empieza a poner mas interesante en el minuto 26) y el método de newton.

Algunos ejemplos de temas tomados en los finales:

  • 27/12/2010: Factorización LU, matrices especiales, ceros de funciones.
  • 22/02/2011: Aritmética finita, cálculo de autovalores, interpolación, cuadrados mínimos.
  • 07/03/2013:
    • Tema 1: Cuadrados mínimos, QR, direcciones conjugadas, splines.
    • Tema 2: Cuadrados mínimos, LU, direcciones conjugadas, métodos iterativos.
  • 09/12/2015: Cuadrados mínimos, QR, ceros de funciones, LU.
  • 02/08/2016: Cuadrados mínimos, LU, Simplex.
  • 08/09/2016: Cuadrados mínimos, interpolación, ceros de funciones.
  • 09/03/2017: Cuadrados mínimos, interpolación, autovalores.
  • 08/08/2017: Cuadrados mínimos, QR, métodos iterativos.
  • 26/12/2018: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, Interpolación/Autovalores (a elección).
  • 21/02/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.
  • 21/02/2019: Interpolación, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas, QR.
  • 07/03/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.
  • 10/06/2019:
    • Tema 1: Cuadrados mínimos, QR, ceros de funciones.
    • Tema 2: Cuadrados mínimos, LU, interpolación.
  • 07/07/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, interpolación.
  • 31/07/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas.
  • 20/12/2019: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, métodos iterativos incluyendo direcciones conjugadas/Simplex (si se vio en la cursada).
  • 21/02/2020: Cuadrados mínimos, ceros de funciones, interpolación.
  • 02/08/2022: Cuadrados mínimos, Ceros de funciones, Interpolación, LU.
  • 09/08/2022: Interpolación, Autovalores, SVD, QR.
  • 14/09/2022: LU, Interpolación, Ceros de funciones, Matrices SDP.
  • 06/12/2022: Cuadrados mínimos, Ceros de funciones y Autovalores.
  • 21/12/2022: Cuadrados mínimos, Interpolación, Autovalores y Matrices Especiales.
  • 22/02/2023: Cuadrados mínimos, LU, QR; y, según el cuatrimestre cursado, Interpolación (para quienes cursaron el segundo cuatrimestre de 2022) o Ceros de funciones (para los demás).
  • 27/02/2023: Cuadrados mínimos, LU, QR; y, según el cuatrimestre cursado, Interpolación (para quienes cursaron el segundo cuatrimestre de 2022) o Ceros de funciones (para los demás).
  • 13/09/2023: QR, Interpolación, Métodos Iterativos y Matrices Especiales
  • 12/12/2023: LU, Interpolación, Métodos Iterativos y Autovalores
  • 19/12/2023: LU, Autovalores y CML (3 temas)
  • 16/07/2024: LU, Autovalores, CML, SVD
  • 30/07/2024: LU, Autovalores, Matrices especiales, CML

Una lista ordenada de los temas según aparición podría ser: Cuadrados mínimos (23), interpolación (18), ceros de funciones (14), métodos iterativos con direcciones conjugadas (12), LU (12), QR (9), cálculo de autovalores (9), aritmética finita (1), matrices especiales (4), SVD (2), SDP (1).

Oral

Si es oral, consiste en una serie de preguntas concisas sobre toda la materia. Por ejemplo:

  • Factorización LU
    • ¿Toda matriz tiene LU?¿De qué depende?
    • ¿Conoces alguna condición si y sólo si para que tenga LU (aparte de la de eliminación Gaussiana)?
  • Número de Condición y Normas
    • ¿Qué es el número de condición? Intuición y definición.
  • Factorización de Cholesky
    • ¿Para qué sirve?
    • Si una matriz es simétrica definida positiva (s.d.p.) ¿cómo te conviene resolver un sistema lineal?
    • ¿Ventajas de tener la factorizacion de Cholesky contra LU?
  • Factorización QR
    • ¿Toda matriz tiene factorización QR? Nombrar un método.
    • ¿Es única?
    • ¿Bajo qué condiciones lo es?
    • ¿Para qué nos sirve (en el contexto de la materia)?
    • Idea de como se obtiene con rotaciones y reflexiones.
  • Autovalores
    • Dar alguna condición para afirmar que tenemos una base de autovectores.
    • Algún método para encontrar el autovalor más grande de una matriz.
    • ¿Qué condiciones son necesarias para que el método de la potencia converja?
  • Descomposición en valores singulares
    • ¿Qué tamaño tiene cada matriz en la descomposición?
    • ¿Qué son los valores singulares?
    • Explicar por qué son positivos
    • ¿Qué son las columnas de U y las columnas de V?
    • ¿Por qué podemos asegurar que AA^t y A^tA tienen base de autovectores?
  • Métodos iterativos
    • ¿Cuándo convergen? Condiciones necesarias y suficientes.
    • ¿Qué es el radio espectral?
  • Cuadrados mínimos
    • ¿Por qué está bueno cuadrados mínimos lineales en relación a cuadrados mínimos no lineales?
    • ¿Por qué decimos que CML es lineal?¿Por qué está bueno usar CML en comparación a no lineales?
    • Interpretación geométrica.
    • Tengo un problema de cuadrados mínimos, siempre tiene solución?¿Es única?
    • ¿Qué métodos conoces para resolver cuadrados mínimos?
    • Interpolar vs Aproximar.
    • Criterios para definir mejor aproxima.
  • Interpolación
    • Quiero resolver un sistema con splines cúbicos con frontera sujeta. ¿Siempre tengo solución? ¿Por qué?
    • Quiero dar un polinomio interpolador. ¿Siempre existe?¿Es único? ¿Qué algoritmos conoces para calcularlo?
    • ¿Qué problemas trae tener un polinomio interpolante de grado muy alto?¿Solución?
    • ¿Qué es un polinomio interpolador?
    • Fórmula del error
  • Ceros de funciones
    • Método de punto fijo, ¿qué condiciones necesito para converger?
    • Método de Newton, ¿qué condiciones necesito para converger?
    • ¿Cuál es la idea intuitiva del método de Newton?
    • Método de Newton, ¿alguna crítica?
    • Método de bisección, ¿alguna crítica?
    • Comparar Newton con secante.
    • Orden de convergencia del método de la secante.
    • Condiciones de convergencia.
    • Explicar la relación entre Newton y el teorema de punto fijo.
  • Aritmética Finita
    • ¿Qué cosas debería tener en cuenta o errores que puedo tener?
    • ¿Qué es el epsilon de la máquina?
    • Distribución de los números representados.
    • Errores clásicos.

Apuntes

TP

Parciales

Primeros Parciales

Segundos Parciales

Terceros Parciales

Bibliografía recomendada

  • Ake Bjorck, Numerical Methods, Dover Publications, 2003; libro para ceros de funciones.
  • Lloyd N. Trefethen, Numerical linear algebra, SIAM, 1997; libro para el estudio del error numérico y la diferencia entre los distintos métodos.
  • R. Burden y J.D.Faires, Análisis numérico, International Thomson Editors, 1998 ("El Burden") (Circulante 519 600 Burden en la Biblioteca Central); libro cabecera de la materia.
  • G. Strang, Linear algebra and its applications, Harcourt Brace Jovanovich, 1988 (Circulante 512 640 Strang en la Biblioteca Central)
  • V. Chvatal, Linear programming, Freeman, 1983; libro para Simplex, capitulos 2, 3, 7.
  • G.H. Golub y C.F. van Loan, Matrix computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1991; libro con algoritmos útil para el laboratorio.
  • J. Nocedal and S. Wright, Numerical optimization, Springer Verlag, 1999; libro muy útil para sistemas de ecuaciones no lineales y especialmente direcciones conjugadas; se puede encontrar en la infoteca.
  • D. Watkins, Fundamentals of matrix computations, John Wiley & Sons, 1991; libro muy bueno para cuadrados mínimos y factorizaciones QR y SVD; se puede encontrar en la infoteca.

Videografía recomendada

  • Clases del MIT de Álgebra Lineal dadas por Gilbert Strang (autor de uno de los libros que sugiere la cátedra). Un capo la verdad, hay muchas clases que valen la pena, tienen que ver con los contenidos de la materia y estan muy bien explicadas.

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