Métodos Numéricos

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Métodos Numéricos es una materia dedicada al estudio de los problemas numéricos, su tratamiento y su resolución óptima. Pertenece al área de Métodos Numéricos y, según el Plan de la Carrera, es una materia a ser cursada en Segundo año. Es correlativa de Probabilidades y Estadística y de Algoritmos y Estructuras de Datos I.

Históricamente, esta materia se cursa los Lunes, Miércoles y Viernes a la noche.

Información general sobre la cursada

Métodos Numéricos consiste de una cursada teórica, una práctica y una de laboratorio.

Anteriormente, para aprobar la práctica debían rendirse 3 Parciales. Actualmente, la materia consta de 2 parciales y algunos talleres obligatorios.

Para aprobar la parte de laboratorio deben realizarse 3 Trabajos Prácticos, cuyas fechas de entrega son, en general, una semana antes de cada parcial. Los trabajos son en grupos de hasta 3 personas (4 personas en 2cuat 2017)

Una característica particular de Métodos Numéricos es que la cátedra permite aprobar los parciales y los trabajos prácticos en el plazo de 2 cuatrimestres consecutivos.

La materia se aprueba rindiendo un Final obligatorio.

Programa

Guías prácticas con soluciones

Finales

El final de esta materia puede ser oral o escrito. Si es escrito consiste en hacer un desarollo escrito completo, sobre cuatro temas de la materia (la eleccion de los temas depende de la profesora, no del alumno). Se tienen 3 horas para realizar dicho desarrollo. Los temas que entran en los finales actualmente son los siguientes:

  • Aritmética de la computadora. Representación de números. Error de redondeo y truncamiento. Error relativo y absoluto. Operaciones aritméticas. Algoritmos. Estabilidad y convergencia.
  • Resolución de sistemas lineales. Eliminación gaussiana y descomposición LU. Estrategias de pivoteo. Análisis de error. Numero de condición.
  • Resolución de sistemas lineales con matrices especiales: simétricas, banda, simétricas definidas positivas, con menores principales no singulares.
  • Métodos iterativos para resolver sistemas lineales: Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradientes conjugados.
  • Descomposición QR. Algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt, rotaciones de Givens, reflexiones de Householder.
  • Cálculo de autovalores. Teorema de los círculos de Gerschgorin, algoritmo QR, método de potencias, método de potencias inverso.
  • Interpolación. Polinomio interpolador de Lagrange, algoritmo de Neville, diferencias divididas de Newton. Splines cúbicos.
  • Aproximación por cuadrados mínimos lineales. Idea geométrica. Existencia y unicidad. Resolución con ecuaciones normales, descomposición QR y SVD.
  • Algoritmos para resolver ecuaciones no lineales en una variable (AKA Ceros de funciones). Métodos de Bisección, Punto Fijo, Newton-Raphson, Secante, Regula Falsi.
  • Resolución de sistemas no lineales. Metodos de Newton, Newton modificado, Broyden.


Por ejemplo:

  • 27/12/2010: factorización LU, matrices especiales, ceros de funciones.
  • 22/02/2011: aritmética finita, cálculo de autovalores, interpolación, cuadrados mínimos.
  • 07/03/2013:
    • Tema 1: Cuadrados Minimos, QR, Direcciones Conjugadas, Splines.
    • Tema 2: Cuadrados Minimos, LU, Direcciones Conjugadas, Métodos Iterativos.
  • 09/12/2015: cuadrados mínimos, QR, ceros de funciones, LU
  • 02/08/2016: Cuadrados Mínimos, LU, Simplex
  • 08/09/2016: Cuadrados mínimos, interpolación, ceros de funciones
  • 09/03/2017: Cuadrados Mínimos, Interpolación, Autovalores
  • 08/08/2017: Cuadrados Minimos, QR, metodos iterativos

Si es oral, consiste en una serie de preguntas concisas sobre toda la materia. Por ejemplo:

  • Quiero resolver un sistema con splines, cubicos, ponele que con frontera sujeta. Siempre tengo solución? Por qué?
  • Método de Newton, qué condiciones necesito para converger.
    • Cuál es la idea intuitiva del método de newton?
    • Método de newton, alguna crítica.
  • Método de biseccion. Alguna crítica.
  • Comparar Newton con secante
  • Orden de convergencia del método de la secante
  • Dar alguna condición para afirmar que tenemos una base de autovectores.
  • Quiero dar un polinomio interpolador. Siempre existe? Que algoritmos conoces para calcularlo?
    • Aritmética finita. Que cosas debería tener en cuenta? O errores que puedo tener. Que es el epsilon de la maquina?
  • Qué es el número de condición? Intuición y definición.
  • Factorizaciones
    • Toda matriz tiene LU?
      • De que depende?
      • Conoces alguna condición si y sólo si para que tenga LU (aparte de la de eliminación Gaussiana)
    • Toda matriz tiene factorización QR? Es unica? Bajo condiciones lo es?
    • Qué son los valores singulares?
  • Matrices especiales
    • Si una matriz es simétrica definida positiva (s.d.p.) cómo te conviene resolver un sistema lineal?
  • Método de la potencia y potencia inversa:
    • Algún método para encontrar el autovalor más grande de una matriz.
    • Qué condiciones son necesarias para que el método de la potencia converja?
  • Métodos iterativos
    • Cuándo convergen? Condiciones necesarias y suficientes.
    • Qué es el radio espectral?
  • Cuadrados mínimos:
    • Por qué está bueno cuadrados mínimos lineales en relación a cuadrados mínimos no lineales?
    • Interpretación geométrica
    • Tengo un problema de cuadrados mínimos, siempre tiene solucion?
    • Que métodos conoces para resolver cuadrados minimos?

Apuntes

TP

Parciales

Primeros parciales

Segundos parciales

Terceros parciales

Bibliografía recomendada

  • R. Burden y J.D.Faires, Análisis numérico, International Thomson Editors, 1998 ("El Burden") (Circulante 519 600 Burden en la Biblioteca Central); libro básico para seguir la materia.
  • G. Strang, Linear algebra and its applications, Harcourt Brace Jovanovich, 1988 (Circulante 512 640 Strang en la Biblioteca Central)
  • V. Chvatal, Linear programming, Freeman, 1983; libro para Simplex, capitulos 2, 3, 7.
  • G.H. Golub y C.F. van Loan, Matrix computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1991; libro con algoritmos útil para el laboratorio.
  • J. Nocedal and S. Wright, Numerical optimization, Springer Verlag, 1999; libro muy útil para sistemas de ecuaciones no lineales y especialmente direcciones conjugadas; se puede encontrar en la infoteca.
  • D. Watkins, Fundamentals of matrix computations, John Wiley & Sons, 1991; libro muy bueno para cuadrados mínimos y factorizaciones QR y SVD; se puede encontrar en la infoteca.

Videografía recomendada

Enlaces externos

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